Niveau : Terminale (Spécialité Maths) (accessible mais difficile à un niveau Première)
Chapitres : Suites numériques
Inédit, publié le 06/06/2020
Note: sur la version en ligne du problème, les vecteurs sont écrits en italique gras.
Il n’est certainement pas aussi populaire que les Dragibus ou les Fraises Tagada, mais il est tout aussi reconnaissable immédiatement : le Rotella, cette spirale de réglisse qu’on trouve dans le rayon bonbon, a ses amateurs, surtout pour ceux qui s’amusent à dérouler la spirale avant de la déguster ! Dans ce problème, nous allons travailler autour d’une modélisation simplifiée de cette spirale.
Pour le former, on considère que le Rotella est une spirale de réglisse qui s’enroule autour d’elle même en étant constituée d’une succession de demi-cercles reliant une suite de points A0, A1, … An, tous situés sur l’axe des abscisses d’un repère orthonormé (O, i, j) – où O est le point central du bonbon et l’unité de longueur le cm (voir figure en Annexe 1). Pour information, Ao n’est pas le début du Rotella : il est le point à partir duquel ce modèle de spirale régulière peut s’appliquer. Le « bout de départ » avant Ao, d’environ 9 cm, se tortille en « s » au centre du bonbon : pour ce problème on ignorera ce « bout de départ ».
La construction de la spirale se fait alors selon les étapes suivantes :
* Le point Ao est de coordonnées (-0,85 ; 0).
* Pour n≥0, un point A2n+1 est le point symétrique du point A2n par rapport au point O’ de coordonnées (0,13 ; 0)
* Pour n≥0, un point A2n+2 est le point symétrique du point A2n+1 par rapport à l’origine O.
Les demi-cercles joignant les points A2n à A2n+1 sont centrés en O’ et sont situés au dessus de l’axe des abscisses. Les demi-cercles joignant les points A2n+1 à A2n+2 sont centrés en O et sont situés en dessous de l’axe des abscisses. La spirale du Rotella tourne dans le sens horaire à partir de Ao jusqu’à un point B, qui est l’autre bout du Rotella (bien que la spirale du modèle, elle, pourrait en théorie continuer à l’infini).
On note (un) la suite telle que pour tout entier naturel n, l’abscisse du point An est un.
Remarque : le schéma de l’Annexe 1 est une aide pour comprendre le problème, mais il ne pourra en aucun cas servir de justificatif pour répondre aux questions du problème (sauf la question 5.d)).
1) Calculer les abscisses u1, u2, u3 et u4 des points respectifs A1, A2, A3 et A4.
2) Montrer que pour tout n≥0 : u2n+1 = 0,26 – u2n et u2n+2 = – u2n+1.
3) On pose, pour tout entier naturel n, (vn) et (wn) les suites telles que vn = u2n et wn = u2n+1.
a) Déterminer l’expression de vn et wn en fonction de n.
b) Préciser la nature des suites (vn) et (wn), et donner leurs caractéristiques.
c) Justifier que les suites (vn) et (wn) sont respectivement strictement décroissantes et strictement croissantes, et en déduire que pour tout n≥0, u2n < 0 et u2n+1 > 0.
4) a) On appelle, pour tout entier naturel n, la suite qui à n associe le rayon du demi-cercle joignant An à An+1. Montrer que pour tout n≥0, rn+1 = rn + 0,13.
Indice : on pourra travailler par disjonction de cas, entre le cas pair et le cas impair.
b) En déduire l’expression de rn en fonction de n.
5) a) Etablir que, pour n≥0, la longueur Ln (en cm) de la spirale qui va successivement de Ao, A1, A2… jusqu’à An (cette spirale est composée d’une suite de demi-cercles) est égale à :
Ln = π x (0,065n2 + 0,915n)
b) On estime que la longueur de la spirale du Rotella à partir du point Ao jusqu’à B est de 42 cm (elle varie d’un bonbon à un autre). Justifier que le point A8 de la suite de points (An) est le dernier point du Rotella situé sur l’axe des abscisses avant le bout B.
c) Calculer l’angle (O’A8, O’B).
Indication : on pourra utiliser le demi-cercle A8A9, puis raisonner par proportionnalité entre la longueur de l’arc de demi-cercle entre A8 et un tout point M de l’arc, et l’angle au centre (O’A8, O’M).
d) En déduire les coordonnées de B dans le repère (O’, i, j) puis dans le repère (O, i, j).
Annexe 1
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