Niveaux : Terminale (Option Maths Expertes)
Chapitres : Suites de matrices, Chaînes de Markov
Inédit, publié le 27/04/2026
Lycéenne de terminale, Marine est une fan de binge-watching, cette mode qui consiste à regarder plusieurs épisodes ou plusieurs saisons d’une série télévisée d’un seul coup sans faire de pauses… ou presque ! Il est vrai que pendant ses vacances d’été, rien ne la retient a priori. Pour elle, tout est juste une question d’envie, qu’elle soit raisonnable ou non !
Ainsi, Marine sait une chose : si dans la dernière heure, elle a regardé un épisode, elle a 75% de chances d’en regarder un autre dans l’heure suivante. Au contraire, si elle a fait une pause en ne regardant rien dans l’heure passée, elle a 90% de chances de commencer un nouvel épisode l’heure suivante, ou inversement 10% de chances de prolonger sa pause d’écran l’heure suivante – et ce indépendamment de ce qu’elle a pu faire ou voir toutes les heures précédentes.
Considérons que Marine commence un long binge-watching. On considère (Xn)n∈ℕ la suite de variables aléatoires qui à la n-ème heure qui suit le début du marathon de visionnage de Marine associe son état : soit elle fait une pause (état 0), soit elle regarde un épisode (état 1). On considère qu’avant de débuter son visionnage, Marine était en pause, donc X0 = 0.
1) Justifier que (Xn) est une chaîne de Markov.
2) Donner la matrice de transition M associée à cette situation et en déduire le graphe associé.
3) On appelle πn la suite des distributions de (Xn), exprimées sous la forme d’une matrice ligne.
a) Exprimer πn+1 en fonction de πn et M.
b) Donner la valeur de π0.
c) Quelle est la probabilité que Marine regarde un épisode lors de la seconde heure ? Et la troisième ?
4) Exprimer en fonction de n la probabilité que Marine soit en train de regarder un épisode lors de la n-ème heure.
5) La mère de Marine, voyant sa fille complètement bloquée depuis plusieurs jours devant son écran, finit par rentrer dans la chambre de sa fille pour voir ce qu’elle fait.
Quelle est la probabilité que Marine soit toujours en train de regarder un épisode (arrondir le résultat obtenu au dixième près) ?
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