Problème 128 – La bataille corse

Niveau : Seconde
Chapitres : Probabilités
Inédit, publié le 10/06/2020

La bataille corse fait partie de ces jeux de cartes plutôt faciles à comprendre et hautement excitants que l’on retrouve souvent dans les cours d’école. 

Les règles standard (sans joker) sont assez simples : on distribue équitablement un paquet de 52 cartes⁽¹⁾ parmi les joueurs présents, chacun formant un paquet avec ses cartes face cachée (on ne les connaît donc pas au départ). Le premier joueur retourne une carte de son paquet en la posant au centre du jeu, suivi du joueur suivant situé à sa gauche etc… Quand un joueur pose une figure ou un as, le joueur suivant est forcé de retourner une figure ou un as : il a pour cela 4 chances si la carte posée est un as, 3 si c’est un roi, 2 pour une dame et 1 pour un valet. Soit il y arrive (sans avoir forcément à utiliser toutes ses chances), et c’est alors au joueur suivant de devoir à son tour poser une figure ou un as, avec les mêmes chances. Soit il n’y arrive pas après avoir utilisé toutes ses chances : dans ce cas, le dernier joueur qui a posé une figure ou un as remporte toutes les cartes au centre pour les replacer sous son propre paquet.

Le jeu demande de l’attention car si deux cartes de même valeur se suivent (que cela soit une figure ou un as, ou pas) – ou si d’autres situations se produisent, selon les variantes du jeu -, le joueur qui tape en premier avec sa main le centre du jeu gagne les cartes au centre (même un joueur qui a perdu toutes ses cartes peut ainsi toujours revenir dans le jeu).

Le but du jeu est évidemment de remporter toutes les cartes.

Dans ce problème, nous allons calculer quelques probabilités autour de ce jeu.

On imagine que 4 lycéen(ne)s, Abby, Bob, Cédric et Dony font une partie de bataille corse. Ils sont placés dans cet ordre en allant dans le sens des aiguilles d’une montre.

L’utilisation d’arbres de probabilités, même quand ils ne sont pas demandés, pourra être utile – mais ce n’est pas obligatoire. 
Les résultats de probabilités seront exprimés sous forme décimale, arrondis au millième.

1) On se place d’abord au début du jeu. A ce moment-là, on admet que les cartes sont distribuées de manière totalement aléatoire entre les joueurs. Ainsi, pour sortir telle carte ou telle carte, nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.

a) Abby commence la partie et pose une carte, juste avant Bob. Quelle est la probabilité que Bob pose une carte de la même valeur que celle posée par Abby ?

b) Si Abby retournait un valet, quelle serait la probabilité pour Bob de retourner une figure ou un as avec la seule chance dont il dispose? 

c) Si Abby retourne un roi quelle serait la probabilité pour Bob de retourner une figure ou un as avec les 3 chances dont il dispose? (on rappelle que si Bob tourne une figure ou un as sur sa première ou sa deuxième chance, il ne retourne pas d’autres cartes après).

2) Un peu plus loin dans la partie, on imagine que Abby n’a plus de cartes et qu’il ne reste que Bob, Cédric et Dony. A ce moment là, on sait qu’ils possèdent chacun les cartes suivantes : 

Cartes possédées	Bob	Cédric	Dony
Non-figures	10	19	7
Valets	1	3	0
Dames	2	1	1
Rois	1	2	1
As	1	1	2

a) Bob retourne en premier une carte, suivi de Cédric et Dony (puis retour à Bob etc…). Quelle est la probabilité qu’ils retournent 6 cartes d’affilée (chacun 2 cartes) sans avoir de figure ?

b) Sur cette première carte retournée, Bob tire une dame. Quelle est la probabilité pour Cédric de retourner une figure et de gagner juste après le paquet au centre, quand Dony va jouer (c’est-à-dire que Dony ne retournera pas du tout de figure)?

3) Nous atteignons la fin de la partie. Bob à son tour n’a plus de cartes, il ne reste plus que Cédric et Dony. Ce dernier s’est bien rattrapé et a quasiment réuni toutes les cartes, sauf deux cartes que Cédric possède encore : un valet et une dame. On rappelle que Cédric perdra s’il est forcé de jouer et qu’il ne possède plus de cartes.

C’est à Cédric de jouer. 

a) Etablir les arbres de probabilité qui montrent tous les scénarios possibles, en séparant deux cas : « Cédric retourne d’abord un valet », puis « Cédric retourne d’abord une dame ». 

b) En déduire que la probabilité de Dony de gagner la partie sur le prochain coup est égale à 0,13 et que cette probabilité ne dépendra pas de l’ordre dans lequel Cédric fait apparaître ses deux cartes.

(1) Pour ceux qui en ont besoin – rappel sur la composition d’un jeu de 52 cartes. Il y a 13 valeurs : 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – Valet – Dame – Roi – As et il y a quatre « couleurs » pour chaque valeur : pique, cœur, carreau, trèfle. Il y a dans le jeu 16 figures/as (V-D-R-As) et 36 « non-figures » (toutes les autres cartes).