Problème 196 – Dans le futur d’Hyperloop

Niveau : Troisième
Chapitres : Proportionnalité (Distance, Vitesse, Temps), Fonctions
Inédit, publié le 02/03/2021

Nous sommes en 2099. Tim, un élève de 3^ème, monte à bord de son train Hyperloop entre Paris et Marseille. Alors qu’il s’installe dans son siège, et que le train s’apprête à démarrer, Tim trouve une revue retraçant l’histoire de ce train qui fait désormais partie du quotidien des Français. Il y lit l’histoire du visionnaire Elon Musk, qui en 2013 lançait le pari fou de propulser un train à 1000 km/h. Tim lit alors que dans le journal d’époque datant de 2021, le pari était de faire le trajet Paris-Marseille en une demi-heure. Pari réussi ?

Pour répondre à cette question, nous allons proposer une modélisation simplifiée du parcours de Tim dans ce train. La ligne droite d’Hyperloop qui relie Paris à Marseille est longue de 660 km. Le train ne va pas à la vitesse de 1000 km/h, dite « vitesse de croisière », d’un seul coup : il lui faut une phase d’accélération qui lui permet d’atteindre cette vitesse. Il vient ensuite une phase principale où le train va maintenir une vitesse constante de 1000 km/h, puis une phase de ralentissement en fin de parcours. Pour simplifier, on admet qu’en moyenne sur toute la phase d’accélération, l’accélération est constante et vaut 5 m.s^-2. En physique, on sait que la variation de la vitesse, quand l’accélération est constante, est proportionnelle à l’accélération : ainsi, dans cette phase, on admet que la vitesse, à partir de 0 m.s^-1, augmente de 5 m.s^-1 chaque seconde jusqu’à atteindre la vitesse de croisière.

Dans tout le problème, on exprimera tous les résultats arrondis à l’entier près.

1) Exprimer la vitesse de croisière en m.s^-1.

2) a) On appelle v₁(t) la vitesse du train en fonction du temps écoulé (en secondes) depuis le départ, uniquement pendant la phase d’accélération. Donner sans justifier l’expression de v₁(t).

b) Quelle est la nature de la fonction v₁(t) ?

c) En combien de temps le train Hyperloop atteint-il la vitesse de croisière ?

3) On admet qu’en phase d’accélération, la distance parcourue est modélisée par une fonction d(t) telle que⁽¹⁾:

d(t) = 5/2 x t² (t : temps écoulé depuis le départ)

Calculer, en km, la distance parcourue pendant toute la phase d’accélération, c’est-à-dire jusqu’au moment où le train atteint la vitesse de croisière.

4) On admet que dans la phase de ralentissement, la vitesse du train, notée ici v₂(t) (t étant toujours le temps écoulé depuis le départ), diminue de 5 m.s^-1 par seconde, c’est-à-dire que la phase de ralentissement est en quelque sorte le «miroir » de la phase d’accélération. On admet ainsi que la durée de cette phase, ainsi que la distance parcourue dans cette phase, sont égales à celles de la phase d’accélération.

a) Déterminer la distance parcourue par le train à vitesse de croisière sur le trajet Paris-Marseille.

b) En déduire la durée, en secondes, pendant laquelle le train roule à vitesse de croisière sur ce trajet, puis la durée totale de ce trajet. Que pouvez-vous en conclure par rapport à l’affirmation du journal de 2021 ?

5) a) Quelle est la nature de la fonction v₂(t) ? Justifier votre réponse (Note : on ne demande pas une expression explicite de v₂(t)).

b) Représenter sur le graphique en Annexe 1 la vitesse du train en fonction du temps sur toute la durée du parcours.

Annexe 1

⁽¹⁾ Pour les physiciens : l’environnement de l’Hyperloop, dans un tube, est supposé être proche d’un vide, ce qui permet de négliger les frottements éventuels.