Problème 008 – Clash Royale

Niveau : 1ère Spécialité Maths
Chapitre : Probabilités et Variables Aléatoires
Première distribution (en devoir surveillé) le 28/03/2017

Dans cet exercice, on étudie les probabilités associées au tirage des cartes dans le jeu vidéo Clash Royale. Pour ceux qui ne sont pas familiers avec le jeu, Clash Royale est un jeu de combat interactif où les joueurs utilisent des unités, plus ou moins évoluées, représentées par des cartes. Celles-ci sont principalement obtenues dans des coffres, que les joueurs remportent de différentes manières (coffre offert périodiquement, combat gagné etc…). Dans ce jeu, on classe les cartes en 4 catégories qui traduisent, dans l’ordre croissant, leur rareté : Commune, Rare, Epique et Légendaire.

Sur le site web de Supercell, l’éditeur du jeu vidéo, on peut lire la phrase suivante : « les cartes Rares sont 10 fois plus rares que les cartes Communes, les cartes Epiques sont 20 fois plus rares que les cartes Rares, et les cartes Légendaires sont 20 fois plus rares que les cartes Epiques » (Note : les joueurs habituels reconnaîtront que cette règle ne s’applique pas à tous les types de coffres, mais on admettra ici que c’est le cas)

Attention : dans tout le problème, vous devrez impérativementécrire les résultats en % à 10^-6près (6 chiffres derrière la virgule)

1. Démontrer que la probabilité d’obtenir une carte Légendaire est de 0,022619%. En déduire les probabilités des trois autres catégories.
   
   
2. Un joueur dévoile les 2 premières cartes qu’il a reçues dans un coffre (en sachant qu’il y en a en général beaucoup plus).
   On associe respectivement à la variable aléatoire E le nombre de cartes Epiques et à L le nombre de cartes Légendaires reçues dans ces deux cartes.Un joueur dévoile les 2 premières cartes qu’il a reçues dans un coffre (en sachant qu’il y en a en général beaucoup plus). On associe respectivement à la variable aléatoire E le nombre de cartes Epiques et à L le nombre de cartes Légendaires reçues dans ces deux cartes.
   
   a. Dessiner un arbre de probabilités relatif à ce tirage de 2 cartes
   b. En ayant au préalable défini les valeurs possibles de E et L, établir leurs lois de probabilité
   c. Quelle est la probabilité d’avoir au moins 1 carte Légendaire dans ces deux cartes?
   
   
3. On souhaite savoir le nombre de cartes qu’il serait nécessaire de tirer pour que la probabilité d’obtenir une carte Légendaire soit supérieure à 1% (ou alternativement que la probabilité de ne pas en obtenir soit inférieure à 99%). Pour cela, on décide de programmer un algorithme.

      Remplir l’algorithme ci-dessus pour qu’il réponde à la question souhaitée.
     Indication : il pourra être utile (mais pas obligatoire), pour bien comprendre la question, de dessiner un petit arbre simplifié de probabilités,

      Bonus: Programmer cet algorithme sur votre calculatrice et déterminer ce nombre de cartes nécessaires.