Problème 007 – The Wall

Niveau : 1ère Spécialité Maths
Chapitre : Probabilités et Variables Aléatoires
Première distribution (en devoir surveillé) le 28/03/2017

Dans cet exercice, on se propose d’étudier un modèle de probabilités relatif au jeu télévisé « The Wall, Face au Mur ». Dans ce jeu, les candidats peuvent remporter des sommes en faisant tomber des boules qui partent du haut d’un mur de 12 mètres de haut, et qui tombent dans des cases indiquant une somme remportée (pour ceux qui connaissent le jeu en détail, on ignorera les cas de perte, c’est-à-dire de « boule rouge »)

Le candidat peut décider à chaque fois une position d’où part la boule parmi 7 positions en haut du mur, numérotées de 1 à 7 dans l’ordre croissant de gauche à droite. En bas, la boule peut tomber dans 15 cases différentes, classées exactement dans l’ordre comme représenté sur la figure 1.  Pour simplifier le problème, on considèrera que les 15 cases sont classées en 3 zones A, B, C – A représentant les 5 cases de gauche, B les 5 cases du milieu et C les 5 cases de droite.

On se concentrera sur le cas où un joueur décide de lancer une boule de la zone la plus prometteuse, c’est-à-dire le plus à droite – par exemple les positions 6 ou 7. Dans ce cas, il est alors logique que la boule, placée à droite en haut du mur, ait plus de chance de tomber plus à droite en bas du mur. Pour modéliser cette situation, on considèrera que si la boule est lâchée indifféremment d’une des positions 6 ou 7, la boule aura 3 fois plus de chances d’arriver dans la zone B que dans la zone A, et 4 fois plus de chances d’arriver dans la zone C que dans la zone A.

Pour obtenir la probabilité qu’une boule tombe dans une case particulière, on considèrera qu’à l’intérieur de chaque zone A, B, ou C la probabilité se divise de manière égale entre les 5 cases.

1. Calculer la probabilité qu’une boule lâchée de la position 6 ou 7 arrive dans chacune des 3 zones d’arrivée A, B, C.
2. En déduire dans ce cas la probabilité pour une boule de tomber dans chacune des 15 cases en bas du mur.
3. On définit par X la variable aléatoire qui indique le gain obtenu par la boule tombée.  Toujours dans le cas où la boule est lâchée de la position 6 ou 7, déterminer la loi de probabilité de X.
4. Calculer alors l’espérance de gain d’une boule lâchée de ces positions.
5. Si la chaîne télévisée souhaitait multiplier le montant des cases « 50000 » et « 150000 » par un même facteur λ pour que l’espérance de gain soit supérieure à 50000 euros, quelle serait la valeur minimale de λ?