Problème 341 – Les bonds de Geometry Dash

Niveau : Troisième
Chapitres : Transformations géométriques, Trigonométrie
Inédit, publié le 02/11/2022

Depuis presque dix ans, Geometry Dash a trouvé sa place parmi les jeux vidéo de plateforme les plus simples à comprendre. Tout consiste à manier un petit icône d’une simplicité graphique absolue (au début du jeu, un visage avec des carrés et une bouche rectangulaire) qui glisse de gauche à droite… L’icône doit souvent faire des bonds pour éviter les pièges, par exemple des pointes en forme de triangle. Cela est beaucoup plus compliqué qu’il n’y paraît, d’autant que chaque erreur implique de recommencer tout au début ! Ceux qui ne connaissent pas le jeu peuvent le tester gratuitement dans sa version Scratch sur le lien suivant : https://www.crazygames.fr/jeu/geometry-dash-online (NB : les plus chevronnés des informaticiens pourront également essayer de plonger dans le programme Scratch pour essayer de le comprendre !).

Dans ce problème, on se propose d’analyser une petite période de déplacement de l’icône et de regarder les transformations géométriques qui sont associées. On imagine ainsi que l’icône, un carré de côté 2 unités (cette unité n’a pas de nom), va de gauche à droite en glissant le long d’un axe gradué. On considère que l’icône part d’une Position 1, avec le point A₁ indiquant le coin en bas à gauche du carré placé à l’abscisse 0 (voir figure en Annexe).

1) En glissant, l’icône arrive à la Position 2, avec le coin en bas à gauche maintenant placé en A₂, situé à l’abscisse 5.

Indiquer, avec ses caractéristiques, la transformation géométrique qui permet de passer l’icône de la Position 1 à la Position 2.

2) On considère ensuite que l’icône doit effectuer un bond pour éviter un triangle devant lui. On admet, même si c’est peut-être inexact^(*), qu’en sautant, l’icône fait une rotation autour du point O₁, situé à une hauteur de 1 unité, à l’abscisse 9. Au bout du saut, l’icône est tête retournée sur la Position 3. Sur la figure en Annexe, on a dessiné une position intermédiaire de l’icône durant le saut.

Dessiner sur la figure en Annexe l’image de l’icône après une rotation de 120°, dans le sens horaire, à partir de la Position 2.
Note : on pourra se contenter de tracer les formes principales, sans colorier, mais on laissera clairement visibles les traces de construction.

3) a) Indiquer une transformation géométrique, différente d’une rotation, qui permet de passer de la Position 2 à la Position 3. Indiquer les caractéristiques de cette transformation (plusieurs solutions sont possibles).

b) Positionner sur la figure en Annexe le point A₃, image du point A₂, par cette transformation.

4) Après avoir de nouveau glissé horizontalement, l’icône se retrouve en Position 4. On admet que le point A₄ issu de A₃se retrouve à l’abscisse 18, à 2 unités de hauteur. Mais cette fois-ci, l’icône doit effectuer un bond pour se retrouver, en Position 5, sur une marche qui a également une hauteur de 2. Ce bond revient à faire une rotation autour du point O_2,situé à une hauteur de 1 unité, à l’abscisse 20. On voit alors sur la figure en Annexe que l’icône ne peut pas totalement compléter un demi-tour, mais qu’il bascule une fois qu’il touche le dessus de l’obstacle au point A₅ issu de la rotation de A₄.

a) Quelle est l’abscisse du point A₅? Justifier la réponse.

b) On appelle M le milieu de [A₄A₅]. Montrer que le triangle O₂MA₅ est rectangle en M.

c) Calculer la mesure de l’angle A₅O₂M (arrondir au degré près).

d) En déduire l’angle de la rotation permettant de faire passer l’icône de la Position 4 à la Position 5.

Annexe