Problème 340 – Madeleines de Dax et surcoût de l’énergie

Niveau : Troisième
Chapitres : Fonctions affines
Inédit, publié le 30/10/2022
Créé sur la base du travail collaboratif effectué avec les membres de l’Amicale Laïque Dacquoise lors de la conférence du 20/10/2022.

Connue en premier lieu pour ses thermes, la ville de Dax propose également dans son patrimoine incontournable ses Madeleines, ces petits biscuits délicieux vendus depuis plus d’un siècle. Vendues principalement par deux boulangeries-pâtisseries dans la ville, Cazelle et Lamothe, ces biscuits sont vendus au prix iconique de 1 € le biscuit. Dans ce problème, nous allons nous interroger sur les répercussions possibles d’une augmentation des coûts de l’énergie sur les ventes ou le prix du biscuit.

De manière générale, dans le monde de la boulangerie, on estime que les matières premières (farine, œuf, beurre etc…) constituent 30% du prix d’un produit. Ainsi la Madeleine de Dax rapporte 0,70 € par Madeleine vendue, sachant que la boulangerie vend évidemment de nombreux autres produits (pains, viennoiseries etc…) . L’argent obtenu par la vente permet de payer, entre autres, les salaires mais aussi l’énergie nécessaire à la fabrication. Mais quand le prix de l’énergie explose, c’est un surcoût qu’il faut évidemment couvrir… 

1) On imagine que ce surcoût de l’énergie est de 2 000 euros par mois, et que les Madeleines représentent en général, en euros, 10% de toutes les ventes. Ainsi, pour couvrir le surcoût de l’énergie, la boulangerie estime donc que des ventes supplémentaires de Madeleines devraient couvrir 10% du surcoût. Combien cela représenterait-il de Madeleines supplémentaires à vendre dans un mois (arrondir à l’entier près)?

2) On considère la fonction f qui au nombre x de Madeleines supplémentaires vendues dans le mois, associe le bénéfice supplémentaire rapporté, en y déduisant le surcoût de l’énergie à couvrir par les Madeleines (ce bénéfice devient une perte si le montant obtenu est négatif). 

On admet ainsi que :  f(x) = 0,7x – 200.
On a dessiné la courbe représentative de f sur le graphique en Annexe.

a) Quel est le montant de la perte si la boulangerie ne vend que 100 Madeleines supplémentaires ?
b) A combien de Madeleines supplémentaires vendues correspond une perte de 50 euros ?

3) a) Si la boulangerie estimait qu’elle serait capable de vendre au maximum 250 Madeleines supplémentaires, quel devrait être le nouveau prix des Madeleines pour couvrir complètement le surcoût de l’énergie qui leur est associé (on suppose que le prix des matières premières n’a pas changé)?

b) Donner alors l’expression de la fonction g, similaire à f, qui représenterait le bénéfice supplémentaire rapporté (surcoût de l’énergie à couvrir par les Madeleines déduit) mais avec le prix de la Madeleine trouvé en 3.a).

c) Tracer la courbe représentative de g en Annexe.

4) Que peut-on penser de l’idée d’augmenter les prix tout en faisant des ventes supplémentaires ?

Annexe