Jeux/Loisirs

Problème 249 – Ohanami

Niveau : Quatrième
Chapitres : Calcul Littéral
Inédit, publié le 10/11/2021

Créé en 2019 par Steffen Benndorf, à qui on doit des jeux comme Qwixx, le jeu Ohanami est un hommage à cette période du printemps où les Japonais ont le bonheur de contempler les cerisiers en fleurs – les fameux « sakuras ». Le principe du jeu est d’y construire de la manière la plus intelligente ses 3 jardins japonais en y posant des sources d’eau, de la végétation, des pierres, et enfin des sakuras. Sans entrer dans le détail des règles du jeu, nous allons dans ce problème nous intéresser à la manière dont les points y sont calculés.

Le jeu se déroule en 3 manches, au cours desquelles chaque joueur va poser des cartes. Pour les cartes « eau », « végétation » et « pierre », le nombre de points apportés par chaque carte au bout des 3 manches dépend non seulement du type de carte posée mais aussi de la manche durant laquelle la carte est posée. Pour les cartes « sakura », le nombre de points apportés dépend uniquement du nombre de cartes posées à la fin de la partie. Le détail des points est expliqué dans en Annexe.

Pour ce problème, les nombres inscrits sur les cartes n’auront aucune importance.

1) a) On appelle ei le nombre de cartes « eau » posées pendant la i-ème manche. Écrire le nombre de points final apportés par les cartes « eau » en fonction de e1, eet e3.

b) Écrire une forme factorisée de l’expression obtenue.

2) a) On appelle vi le nombre de cartes « végétation » posées pendant la i-ème manche. Écrire le nombre de points final apportés par les cartes « végétation » en fonction de v1, vet v3.

b) Écrire une forme factorisée de l’expression obtenue.

3) On appelle p le nombre de cartes « pierre » posées durant la partie (quelle que soit la manche). Exprimer, en fonction de p, le nombre final de points apportés par les cartes « pierre » posées.

4) On admet que le nombre de points apportés par s cartes « sakura » posées durant la partie (quelle que soit la manche où chacune est posée) est donné par l’expression factorisée: 0,5s(s+1).

a) Écrire une forme développée de cette expression.

b) Vérifier de deux manières, à l’aide de la forme factorisée et de la forme développée trouvée, que pour s = 3 et s = 8, on obtient effectivement le nombre de points indiqués en Annexe.

5) a) A l’aide des questions précédentes, écrire l’expression développée complète du nombre de points obtenus dans une partie de Ohanami en fonction de e1, e2, e3, v1, v2, v3, p et s.

b) Sybille a joué et a posé :
– 5 cartes « eau », 2 cartes « végétation » et 1 carte « pierre » à la première manche.
– 1 carte « eau », 3 cartes « végétation » et 1 carte « pierre » à la seconde manche.
– 1 carte « eau », 2 cartes « végétation » et 4 cartes « pierre » à la troisième manche.

Elle a aussi posé des cartes « sakura ». Au total, elle a marqué 189 points.

Combien de cartes « sakura » Sybille a-t-elle posés dans toute la partie ?

Annexe

Nombre de points apportés par les cartes « eau », « végétation », « pierre »

Nombre de points apportés par les cartes « sakura » 
(dépend uniquement du nombre de cartes posées à la fin de la partie)

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