Problème 084 – Les autres gagnants à Qwixx

Niveau : 1^èreS/Spécialité Maths
Chapitres : Suites numériques, Algorithmique (Python)
Inédit, publié le 08/01/2019

Apparu en 2012 en Allemagne, Qwixx est rapidement devenu un jeu très populaire notamment grâce à ses règles très simples. Son principe : chaque joueur doit essayer, sur son feuillet personnel (voir la grille sur l’Exemple 1) de cocher le plus de cases possibles sur 4 lignes colorées en rouge, jaune, vert et bleu, en lançant les dés et en cochant les cases correspondant à la somme de deux dés. Un joueur, selon qu’il lance ou non les dés, peut cocher de 1 à 2 cases par lancer, et est obligé de remplir les lignes de gauche à droite. A la fin du jeu, on regarde combien de cases ont été cochées par ligne (12 cases maximum, en incluant éventuellement celle la plus à droite qui est un bonus). Ce nombre de cases correspond, selon un barème visible en bas du carton, à un nombre de points par ligne – le score final (hors pénalités, que nous négligerons ici) étant la somme des points donnés par les 4 lignes. Dans ce problème, nous allons justement nous intéresser à ce barème et à son importance.

Exemple 1

En effet si on regarde ce barème, on peut reconnaître facilement qu’à chaque nombre n de cases correspond un nombre de points égal à la somme des n premiers nombres à partir de 1. On pourrait aussi dire que c’est la somme des n premiers nombres d’une suite (u_n), (u_n) étant une suite arithmétique de premier terme u₁= 1 (le cas n=0 n’est pas utilisé dans ce problème, bien qu’il existe) et de raison r = 1. Or, on pourrait se demander ce qui se passe si la suite choisie était différente.

On étudie ce que seraient les scores dans le cas où, à la place de la suite (u_n), on choisit deux autres suites :
(v_n) : suite arithmétique de premier terme v₁= 1 et de raison r’ = 3.
(w_n) : suite géométrique de premier terme w₁= 1 et de raison q = 2.

On recommande dans les questions suivantes de taper dans un éditeur Python les lignes de code de chaque question. On tapera les lignes dans un même programme, à la suite et dans l’ordre des questions. Cela permettra de tester le programme et de l’essayer pour répondre à la dernière question, qui est l’objet de ce devoir.

1) Compléter la fonction sommeU(n) ci-dessous afin qu’elle retourne la somme des n premiers termes de la suite (u_n).

1 def sommeU(n):
2               s=0
3               for i in range(1,…….):
4                          s+=…….
5                return(…)

2) Rappeler les expressions respectives de v_n et de w_n en fonction de n.

3) Compléter la fonction sommeV(n) ci-dessous afin qu’elle retourne la somme des n premiers termes de la suite (v_n) (Note : il n’y a pas qu’une solution possible).

1 def sommeV(n):
2               s=0
3               v=…
4               for i in range(…….. , …….):
5                          v=…….
6                          s……….
7               return(…)

4) S’inspirer du programme de la question 3) pour définir entièrement une fonction sommeW(n) qui donne la somme des n premiers termes de la suite (w_n).

5) Compléter les lignes de code ci-dessous afin de capturer dans 4 variables distinctes de type entier (Rouge, Jaune, Vert, Bleu) le nombre de cases cochées par couleur (les nombres sont entrés par l’utilisateur quand le programme lui demande).

1 Rouge=…..(………..(« Nombre de cases rouges cochées? »))
2 Jaune=………………………………………………………
3 Vert=………………………………………………………
4 Bleu=………………………………………………………

6) Ecrire les dernières lignes de code du programme afin qu’il fasse apparaître le score final d’un joueur dans les 3 situations. Le programme doit retourner la phrase : « Le score réel du joueur est … points, le score avec Vn est … points et le score avec Wn est … points ».

7) a) Exécuter le programme pour calculer les scores (réel, avec (v_n) et avec (w_n)) de Apolline, Betty et Corentin qui ont rempli les feuillets ci-dessous.