Niveau : BTS
Chapitres : Courbes paramétrées, Courbes de Bézier
Inédit, publié le 25/04/2021
Fan de karting depuis son adolescence, Lucien décide de monter son entreprise et de lancer sa propre piste. Avant de déterminer plus précisément où il l’installerait, il commence d’abord par en faire le tracé. Dans ce problème, nous allons suivre comment il dessine de manière précise les premiers mètres du parcours.
Lucien sait que sa piste commencerait par une longue ligne droite, suivie, de manière assez classique, par un virage en S puis par une autre ligne droite. Pour être plus précis, il utilise un repère orthonormé (O,i,j), où l’unité de longueur est le mètre. Lucien dessine la première ligne droite longue de 100 mètres, en partant de l’origine du repère, tout le long de la droite d’équation cartésienne 3x – 4y = 0 jusqu’au point A(80,60). La ligne droite suivante commence au point E(120,160) en suivant la droite d’équation cartésienne 3x – 4y + 280 = 0.Puis, pour dessiner de manière précise le virage en S qui relie les deux lignes droites, Lucien décide d’utiliser une courbe de Bézier avec les points de contrôle suivants dans l’ordre : A, B(200,150), C(60,80), D(0,70) et E.
La courbe tracée par Lucien est représentée en Annexe 1.
1) Écrire, développer et réduire les fonctions polynômiales de Bernstein B4,i pour 0⩽i⩽4.
On rappelle que les fonctions polynômiales de Bernstein Bn,i sont définies par :
2) Montrer que la courbe de Bézier du virage en S dessiné par Lucien a pour équation paramétrique, pour t ∈ [0,1] :
3) a) Calculer x’(t) et y’(t).
b) Déterminer graphiquement le nombre de solutions pour chacune des équations x’(t) = 0 et y’(t) = 0 sur l’intervalle [0,1].
c) On appelle α1, α2 …. (resp. β1, β2, ….) les solutions en ordre croissant de l’équation x’(t) = 0 (resp. y’(t) = 0).
Dresser, en vous appuyant sur le tracé en Annexe 1, le tableau des variations conjointes de la courbe du virage en S sur l’intervalle [0,1].
Note importante : des valeurs, mêmes approximatives, de α1, α2… ou β1, β2, …. etc…. ne sont pas requises. Par contre, des valeurs images de x(t) et y(t), aux bornes de l’intervalle et en α1, α2… ou β1, β2, … etc… sont requises dans le tableau de variations (ces valeurs pourront être déterminées graphiquement).
4) Montrer que les deux lignes droites, en entrée et en sortie du virage en S, sont tangentes à la courbe de Bézier tracée, respectivement aux points A et E.
Annexe 1
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