Problème 204 – La fameuse gomme bicolore

Niveau : Cinquième
Chapitres : Quadrilatères, Solides
Inédit, publié le 30/04/2021

Comme pour des milliers d’élèves depuis des décennies, la gomme bicolore est peut–être dans votre trousse. La légende raconte depuis toujours que la partie rose est censée effacer le crayon à papier, et la partie bleue l’encre des stylos. Cependant, ceux qui ont testé savent que c’est complètement faux. La vérité est que la gomme est bicolore parce que la partie bleue, faite de pierre ponce et pas de caoutchouc, efface le crayon sur des surfaces plus dures. Ou, vérité moins avouable, elle est bicolore aussi parce qu’elle se vend mieux ainsi…

Dans ce problème, nous allons étudier quelques aspects de cette gomme qui a traversé les générations. Nous allons, pour simplifier la compréhension, modéliser la gomme par un prisme droit dont la base est un parallélogramme. Ainsi, nous allons admettre pour les calculs que les bords ne sont pas arrondis.

1) a) Rappeler la nature des faces latérales dans un prisme droit.

b) Sur l’image de la gomme en Annexe 1, indiquer sans justifier, pour chacune des 6 faces, si elle est, dans le modèle en prisme droit, une face latérale ou une base (remplir les pointillés)

2) En Annexe 2, on a représenté une des bases ABCD du modèle de la gomme, avec ses dimensions. On appelle I le point de (AB) tel que (CI) est perpendiculaire à (AB), et E et F les points respectifs de (AB) et (CD) situés à la limite entre les deux zones rose et bleue. On admet que la zone de couleur rose dans ABCD est représentée par le trapèze AEFD, et celle de couleur bleue par le trapèze EBCF (même s’il manque visiblement un tout petit coin près de C!).

a) Par rapport à l’image en Annexe 1, et en supposant que l’on n’a pas touché à la gomme posée sur la table ni représenté la gomme à l’envers, quelle est la face représentée par ABCD en Annexe 2?

b) En justifiant votre réponse par les propriétés du parallélogramme, déterminer les longueurs BC et CD, ainsi que la mesure de l’angle BCD.

c) Justifier que ABC = 130º.

3) a) Calculer l’aire de ABCD.

b) Calculer l’aire du triangle BIC.

c) En déduire l’aire de EBCF (couleur bleue) puis celle de AEFD (couleur rose)
Remarque : on pourra alternativement, si on la connaît, utiliser la formule de l’aire du trapèze.

4) On estime que la hauteur du prisme droit est de 2 cm. On rappelle que les deux parties rose et bleue sont séparées par un plan qui est perpendiculaire aux bases (autrement dit, la séparation entre les deux couleurs est bien droite).

a) Calculer le volume du prisme droit.

b) Estimer, en utilisant le modèle en prisme droit, le volume de la partie rose de la gomme, ainsi que celui de la partie bleue de la gomme.

5) Représenter à l’échelle réelle le patron du prisme droit qui a servi, dans ce problème, de modèle pour la gomme. Indiquer les dimensions sur la figure, en utilisant notamment des codages pour indiquer les arêtes de même longueur.

Annexe 1