Niveau : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Produit scalaire, Équations cartésiennes
Inédit, publié le 30/01/2021
Note: dans la version en ligne, les vecteurs et les angles sont notés en gras italique.
Ce sport est à la fois très connu… et méconnu. Très connu, car chacun d’entre vous a certainement joué au moins une fois dans sa vie à « la balle aux prisonniers ». Très méconnu, car sa version sportive, le dodgeball, n’est pratiquée que dans quelques clubs en France. Dans ce sport, chacune des deux équipes de plusieurs joueurs, depuis sa moitié de terrain, cherche à éliminer les adversaires de l’équipe adverse en les touchant avec les ballons (il y en a généralement 5 ou 6, les règles variant selon les pays) sans qu’ils ne puissent les attraper. Les joueurs touchés deviennent des prisonniers.
Dans ce problème, nous allons modéliser une situation d’attaque et de défense de ce sport. Nous imaginons qu’en cours de partie, Lucien est le seul joueur restant dans son équipe. Il vient d’attraper un ballon et se précipite à la limite de sa moitié du terrain : il a devant lui 4 cibles potentielles dans l’équipe adverse. Dans la figure en Annexe 1, nous avons représenté cette situation en appliquant un repère orthonormé (O, i, j), où O est le centre du terrain et l’unité du repère est le mètre. La figure ne représente qu’un peu plus de la moitié du terrain.
Lucien se situe au point L (1 ; -1). Trois de ses adversaires, Annabelle, Bill et Corentin, se situent eux respectivement aux points A (-3 ; 6,5), B (-1 ; 7) et C (3, 8). Nous verrons à la question 4) où se situe la dernière joueuse, Daphnée.
On pourra pour utiliser librement la Figure 1 pour y placer des points ou tout autre trait jugés utiles. Quand c’est nécessaire, les résultats seront arrondis au dixième près.
Partie I – Une défense bien organisée !
1) Justifier que les vecteurs LB et BC sont orthogonaux.
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC).
3) a) En utilisant le résultat de la question précédente, justifier qu’Annabelle est bien en ligne avec Bill et Corentin.
b) Sans entrer dans les calculs, proposer avec une brève explication une autre manière de montrer le même résultat.
4) Daphnée est aussi en ligne avec ses coéquipiers. Sa position D est telle que BA.BD = – BA2.
a) Déterminer les coordonnées du point D.
b) Justifier que les 4 coéquipiers sont espacés à intervalles parfaitement réguliers.
Partie II – Le choix de l’attaque
5) a) Calculer le produit scalaire LA.LC.
b) En déduire, en degrés, l’angle ALC de la zone de tir de Lucien.
c) Justifier que ALB = BLD.
6) Lucien veut naturellement viser l’adversaire le plus proche de lui. Qui doit-il choisir ? Justifier votre réponse.
Annexe 1
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