Problème 190 – Une fameuse robe d’Ariana Grande

Niveau : Troisième
Chapitres : Volumes, Théorème de Thalès, Théorème de Pythagore
Inédit, publié le 26/01/2021

Lors de la cérémonie des Grammy Awards en 2020 (par coïncidence, un 26 janvier !), la célèbre chanteuse Ariana Grande n’avait laissé personne de marbre avec sa gigantesque robe de princesse cousue pour l’occasion par le styliste italien Giambattista Valli. Cette robe était tellement volumineuse qu’on s’en était presque demandé comment Ariana Grande ne s’était pas perdue dedans, du haut de ses 1,53 mètres ! Mais au final, quel était vraiment le volume occupé par cette robe ?

Pour l’estimer, on peut faire remarquer que la forme de la robe semblait proche de celle d’un cône tronqué, comme on peut le voir sur l’image de l’Annexe 1. Le sommet S de ce cône est situé au niveau du cou de la chanteuse, et la section, parallèle à la base, se situe au niveau du buste. Pour simplifier, nous allons ainsi admettre qu’une estimation raisonnable du volume de la robe est celui de ce cône tronqué.

On appellera O le centre de la base de ce cône, et B le point de la hauteur du cône situé au niveau du buste de Ariana Grande. Nous admettrons également que la chanteuse portait des talons qui surélevait ses pieds, cachés dans la robe, de 10 cm au dessus du point O.

Dans tout le problème, on donnera les résultats au centième près, en m ou m³ selon la question.

1) Suite à la soirée des Grammy Awards, le média E! News avait affirmé que la robe avait atteint 20 pieds de diamètre⁽¹⁾ (on rappelle que 1 pied = 30,48 cm).

a) On suppose que le diamètre de la robe s’apparente au diamètre de la base du cône.
Estimer directement, à l’aide de mesures sur la figure, le diamètre apparent de la robe.

b) A quelle caractéristique du cône la valeur donnée par E! News semblait davantage correspondre ?

2) a) On appelle O le centre de la base du cône, et B le point de la hauteur du cône situé au niveau du buste de Ariana Grande.

On admet que : OS = 1,39 m et BS = 0,16 m.

Calculer alors (sans mesurer sur la figure) le rayon du cercle de la section du cône au niveau du buste d’Ariana Grande.

3) Proposer, en justifiant les calculs, une estimation raisonnable du volume occupé par la robe.

4) On appelle S le sommet du cône et A un point du cercle de la base du cône, donc à une extrémité au sol de la robe. Sans mesurer sur la figure, calculer SA.

Annexe 1