Problème 192 – Le territoire du chat

Niveau : Sixième/Cycle 3
Chapitre : Aires, Périmètres
Inédit, publié le 07/02/2021

Où va notre chat pendant que nous ne sommes pas là ? Il se promène. Il chasse. Il cherche de la nourriture partout où on lui en donne. Ou il va simplement chercher des amis avec qui il peut passer un bon moment… Ce chat-là peut aller bien loin, mais il n’oublie de revenir à son nid douillet chaque soir…

Dans ce problème, nous allons nous intéresser au territoire d’un chat nommé Minou, le chat de Sidonie, une collégienne. Minou est en mesure de couvrir, autour de son lieu d’habitation, tout un territoire qui forme un disque de 250 mètres de rayon. Mais Minou doit faire attention car il y a dans cette zone de nombreux territoires auxquels il n’a pas accès, ou dans lesquels il risque de faire de mauvaises rencontres : il n’y met donc pas les pieds.  

Parmi ces territoires il y a :

– Les 3 zones jalousement gardées par les 3 chiens Attila, Brutus, et Crapule, qui couvrent chacun des disques de 80 m de diamètre.

– Le champ du Père Fouettard, qui a la forme d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent respectivement 125 m et 25 m.

– Le collège de Sidonie, qui n’autorise pas les animaux ! Ce collège est formé de deux bâtiments qui, au sol, forment deux rectangles identiques de longueur 50 m et de largeur 20 m.

– La résidence des Loups, composée de 15 maisons identiques de forme carrée, avec un côté de 13 m de longueur. Trois de ces maisons apprécient Minou et lui ouvrent leurs portes, donc les intérieurs de ces maisons lui sont accessibles. Les autres sont fermées.

– Le musée d’Art Moderne, qui a la forme d’un triangle isocèle dont une base mesure 125 m et la hauteur associée mesure 38 m.

Tout le territoire de Minou est représenté sur le croquis en Annexe 1 (qui n’est pas représenté à l’échelle). O est le lieu d’habitation de Minou, (C) est le cercle de centre O délimitant le champ d’action maximal de Minou (de rayon 250 m).

Dans ce problème, sauf à la question 4), on arrondira tous les résultats à l’entier près.

1) Déterminer l’aire et le périmètre de (C).

2) Calculer successivement les superficies (au sol) des zones inaccessibles à Minou :

     – La somme des 3 zones gardées par les chiens.

     – Le champ du Père Fouettard.

     – Le collège de Sidonie.

     – Les maisons fermées de la résidence des Loups.

     – Le musée d’Art Moderne.

3) En déduire la superficie du territoire accessible à Minou. 

4) Convertir le résultat de la question 3) en km² (arrondir au centième près).

Annexe 1