Niveau : Troisième (ou tout au long du cycle 4 en sélectionnant les cas)
Chapitres : Transformations géométriques
Inédit, publié le 27/06/2020
Dans la saga des jeux vidéos Zelda, la Triforce est un symbole immédiatement reconnaissable par tous les fans de la série : ces derniers sont nombreux, et de tout âge, depuis 1986. Dans cette saga, la Triforce est une relique qui symbolise les trois déesses d’or du royaume imaginaire d’Hyrule : la déesse de la Force (Din), la déesse de la Sagesse (Naryu) et la déesse du Courage (Farore).
Ce symbole est très simple à décrire : il est représenté par 3 triangles équilatéraux de mêmes dimensions qui forment un quatrième grand triangle (et séparés par un triangle « vide » ayant aussi la forme d’un triangle équilatéral retourné et de mêmes dimensions), comme on peut le voir sur l’image ci-dessus. C’est donc une figure avec de très nombreuses symétries. L’objectif de ce problème est justement de rebalayer toutes les possibilités de transformations géométriques vues au collège qui permettent de reconstruire le symbole à partir de l’un des trois triangles.
En Annexe 1, on a représenté le symbole de la Triforce. On considère que le triangle de départ est le triangle ABC, à partir duquel on va construire les deux autres triangles A1B1C1 et A2B2C2 pour compléter le symbole (on remarque que les points B et A1, C et A2, puis C1 et B2 se confondent).
Tâche à effectuer :
Pour chaque question, vous devez, après avoir répondu à la question, retracer le symbole de la Triforce en partant du triangle ABC uniquement et en y appliquant la ou les transformations géométriques qui ont été indiquées dans la question. Vous pouvez utiliser la Feuille Réponse. Il ne sera pas nécessaire de justifier pourquoi les solutions proposées fonctionnent, mais il faudra par contre laisser impérativement, pour chaque dessin, les traits de construction – les différences entre chaque dessin devant être visibles.
On n’hésitera pas, si nécessaire, à créer et à nommer des objets : points, droites etc…
1) Déterminer les caractéristiques (axes) des deux symétries axiales (à appliquer séparément) qui permettent, à partir du triangle ABC, de retrouver les deux autres triangles du symbole. On décrira comment trouver ces axes à partir des côtés du triangle ABC uniquement.
2) a) Déterminer le centre de la symétrie centrale qui permet de retrouver, à partir du point A, le triangle « vide » CBB2.
b) Déterminer ensuite les centres des deux symétries centrales (à appliquer séparément) qui permettent, à partir du triangle CBB2, de retrouver les deux autres triangles du symbole.
3) Déterminer les caractéristiques (centre, angle, sens) de deux rotations (à appliquer séparément) qui permettent, à partir du triangle ABC, de retrouver les autres triangles du symbole.
Indice : on pourra se servir des axes trouvés à la question 1). D’autres moyens existent…
4) Déterminer les caractéristiques des deux translations (à appliquer séparément) qui permettent, à partir du triangle ABC, de retrouver les autres triangles du symbole.
5) a) Déterminer les caractéristiques (centre, rapport) d’une homothétie qui permet, à partir du triangle ABC, de trouver les sommets du grand triangle AB1C2.
b) Sur quel point faut-il appliquer cette homothétie pour trouver le point B2 ?
Annexe 1
Feuille réponse
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