Problème 115 – Une combinaison au handball

Niveau : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Configurations géométriques (Equation de cercle, Théorème de la médiane, Vecteurs, Produit Scalaire)
Inédit, publié le 30/04/2020

Note: dans la version en ligne, les vecteurs et les angles sont notés en gras italique.

On propose dans ce problème de modéliser une combinaison de handball dans une phase d’attaque. On rappelle que le handball est un sport qui se joue à 7 joueurs contre 7 sur un terrain de 40 mètres de long sur 20 mètres de large. Pour ce problème, on se concentrera sur quelques joueurs et on regardera l’évolution de la trajectoire des joueurs et du ballon, étape par étape.

On a représenté sur la Figure 1 une moitié de terrain avec la position des joueurs au début de la combinaison. On se place dans un repère orthonormé (O, i, j), où l’origine est la position supposée du gardien de l’équipe en défense au milieu de ses buts, i etant orienté selon la largeur du terrain et j la longueur. L’unité de longueur du repère est le mètre. 

Figure 1

On se concentre sur 4 joueurs d’attaque placés aux positions nommées A₁, A₂, A₃ et A₄ et 2 joueurs de défense placés aux positions D₁ et D₂. On donne A₁(-7 ; 10) et A₃(0 ; 12). A₂ est le milieu de [A₁A₃]. Le joueur positionné en A₄ est situé dans la défense adverse, entre la surface de but (ligne continue) et la ligne de jet franc (en pointillés).  Les autres points placés sur la figure, représentant les autres joueurs, n’ont pas d’importance.

a) Calculer la distance exacte entre les joueurs positionnés en A₁ et A₃.
b) Déterminer les coordonnées du joueur positionné en A₂.
c) En déduire l’équation du cercle (C) de diamètre [A₁A₃].
d) On sait que le point A₄ a pour coordonnées (-2 ; 11 – √11). Justifier qu’il est situé sur le cercle (C).

2) Sur la Figure 2, on a représenté la première étape de la combinaison. Le ballon est initialement dans les mains du joueur placé en A₃. Le joueur placé en A₂ se déplace pour recevoir le ballon en S, qui est la position telle que A₁S = (2/5) A₁A₄. On suppose que le ballon fait le trajet en ligne droite entre le point A₃ et le point S. 

Figure 2

On admet que : A₃A₄ = 4,76 m et A₁A₄ = 5,51 m

Spécifiquement pour cette question 2) :
– on exprimera toutes les distances en mètres, avec des arrondis au centimètre près.
– on répondra aux questions sans utiliser les coordonnées des points.

a) Calculer la distance A₁S et en déduire la distance A₄S.
b) Calculer la distance A₃S parcourue par le ballon. 
c) Déterminer la distance parcourue par le joueur qui va de A₂ à S.

3) Sur la Figure 3, on a représenté la deuxième étape de la combinaison. Le joueur qui a reçu le ballon en S essaye de pénétrer la défense pour aller vers le point S₁ (- 5 ; 6). Les défenseurs placés en D₁ et D₂ se déplacent pour essayer de le contrer au point T, à l’intersection du cercle (C) et de la droite (SS₁). Au même moment le joueur en A₄ commence à se déplacer.

Figure 3

a) Justifier que la droite (SS₁) est la droite d’équation x = -5.
b) En déduire les coordonnées exactes du point T (on pourra admettre que l’ordonnée de T est inférieure à 9).

4) Sur la Figure 4, on a représenté la dernière étape de la combinaison. Le joueur possédant le ballon, contré par les défenseurs, glisse le ballon vers le joueur qui, parti de A₄, attrape le ballon dans son élan pour se positionner en situation de tir, en sautant, dans la surface de but, au point U (-3 ; 5). Le joueur dispose alors d’un angle de tir possible VUW , V et W représentant les deux poteaux du but adverse – qu’on rappelle écartés de 3 mètres : on a donc V(-1,5 ; 0) et W (1,5 ; 0).

On ignorera le fait que le joueur se trouve en hauteur au moment de son saut.

Figure 4

a) Déterminer les coordonnées des vecteurs UV et UW.
b) Calculer le produit scalaire UV.UW.
c) Calculer les normes ||UV|| et ||UW||
d) En déduire la mesure de l’angle de tir VUW.