Jeux/Loisirs

Problème 103 – Mille sabords !

Niveau : Terminale (Spécialité Maths) (Question 2) accessible en 1ère)
Chapitre : Loi binomiale, Variables aléatoires
Inédit, publié le 22/03/2020

« Mille sabords ! » fait partie de la famille des jeux de dés du type « Stop ou encore », parmi lesquels on trouve d’autres jeux comme « Zombie Dice » ou « Pickomino ». Sorti en 2013, le jeu consiste à faire les meilleures combinaisons possibles avec 8 dés identiques à 6 faces avec les mêmes symboles : diamant, pièce d’or, perroquet, singe, sabres et tête de mort (voir Image 1). On conserve ou on rejoue les dés que l’on veut (hormis les têtes de mort, qui sont forcément conservées) pour améliorer sa combinaison et marquer le plus de points, mais gare aux têtes de mort : 3 d’entre elles au moins apparaissent sur les 8 dés, et tout est perdu ! Par contre, si au premier lancer de dés on obtient 4 têtes de mort ou plus, celui qui lance des dés peut infliger des points de pénalité à ses adversaires.

Image 1 – Faces des dés

Les questions 1) et 2) sont indépendantes. On exprimera les résultats de probabilités soit en écriture fractionnaire, soit arrondis au dixième de %.

1) Fabrice lance pour la première fois ses 8 dés. On rappelle que lancer 8 dés est complètement similaire à lancer un dé 8 fois à la suite de manière identique et indépendante. On appelle p la probabilité d’obtenir la tête de mort avec 1 dé.

a) Donner p.

b) On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de têtes de mort obtenues au bout d’un lancer. Justifier la loi de probabilité suivie par X.

c) Déterminer la probabilité que Fabrice perde au premier lancer de dés (c’est à dire qu’il obtienne exactement 3 têtes de mort).

d) Déterminer la probabilité que Fabrice soit en mesure d’infliger des points de pénalité à ses adversaires.

2) Le nombre de points obtenus dépend de la combinaison obtenue, selon le barème indiqué sur l’Image 2 ci-dessous : 

Image 2

Le barème indique que le joueur obtient des points si il a 3 symboles identiques ou plus (exemple : 6 symboles identiques lui rapportent 1000 points). Le joueur obtient 100 points par pièce d’or ou diamant obtenu. 

Fabrice lance ses 8 dés et obtient la combinaison ci-dessous :

Les 2 têtes de mort obtenues sont obligatoirement conservées. Fabrice va bien sûr conserver les 4 diamants, ce qui lui donnerait déjà 600 points (200 points pour 4 dés identiques, plus 4 diamants qui lui rapportent 100 points chacun). Cependant il hésite : il peut soit garder la pièce d’or pour avoir 100 points de plus et s’arrêter (donc avec un total de 700 points), ou soit rejouer la pièce et le perroquet (car il est obligé de relancer au minimum 2 dés) : il pourrait ainsi essayer d’obtenir encore une meilleure combinaison (5 ou 6 diamants, ou encore 2 pièces). Cependant il peut aussi tout perdre si une tête de mort venait à apparaître ! Ainsi, prudent, Fabrice sait qu’il ne tenterait sa chance qu’une fois : s’il relançait les 2 dés, quelque soit le résultat obtenu, il s’arrêterait.

On pose Y la variable aléatoire qui donne le nombre de points total que pourrait obtenir Fabrice si il relançait les deux dés.

a) Remplir le tableau ci-dessous donnant les valeurs possibles de Y en fonction des figures obtenues sur les 2 dés relancés.

b) Etablir, dans un tableau, la loi de probabilité de Y.

c) Quelle est la probabilité pour Fabrice de marquer au moins autant de points que ce qu’il a avant de relancer les deux dés (i.e. 700 points) ?

d) Calculer E[Y]. Fabrice devrait-il relancer les deux dés ?

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