Problème 058 – La légende de Zelda – Link’s Awakening

Niveau : Seconde
Chapitres : Vecteurs
Inédit, publié le 12/10/2019

Note: sur la version en ligne du problème, les vecteurs sont écrits en italique.

Dans ce problème, on va étudier un passage du jeu « La légende de Zelda – Link’s Awakening », qui fut, en 1993, un des jeux les plus populaires sur la console de jeu Game Boy. Le jeu a d’ailleurs connu, en 2019, une seconde vie en étant remastérisé graphiquement pour la console Switch, sans être modifié dans son contenu.

Dans ce jeu, le héros, nommé Link, échoue sur l’île de Cocolint et cherche à en partir. Pour cela, il doit réveiller le Poisson-Rêve, en retrouvant d’abord différents objets qui lui permettront d’accéder à l’œuf géant du mont Tamaranch, dernière étape d’une longue quête. C’est lorsqu’il pénètre dans cet oeuf (nous parlons de la fin du jeu, attention spoil !) qu’il rentre dans un labyrinthe, où toutes les salles sont rectangulaires et identiques, en ayant chacune 4 sorties, en haut, en bas, à droite et à gauche (Image 1). Link doit trouver le chemin précis du labyrinthe pour pouvoir trouver la salle où se trouve le dernier « boss » à affronter.

Quand Link pénètre dans le labyrinthe, on imagine qu’il se place au centre d’une salle – on nomme ce centre O. On imagine qu’ensuite, les centres de chaque salle sont les nœuds d’une maille infinie, Link allant de nœud en nœud lorsqu’il se déplace d’une pièce à l’autre : on suppose qu’il ne se déplace que de manière horizontale ou verticale, du centre d’une pièce à une autre (voir Annexe).

• Quand Link va vers la droite (gauche), on suppose que Link fait un déplacement de longueur 20 mètres selon le vecteur d (respectivement g) qui relie un nœud au nœud immédiatement voisin sur la droite (respectivement à gauche).

• Quand Link va vers le haut (bas), on suppose que Link fait un déplacement de longueur 10 mètres selon le vecteur h (respectivement b) qui relie un nœud au nœud immédiatement voisin au-dessus (respectivement en dessous).

1) Donner, sans justification, l’expression de g en fonction de d, et celle de b en fonction de h.

2) Un joueur, qui ne connaît pas le chemin, fait déplacer Link au hasard à partir du point O selon la suite de mouvements: haut – droite – haut – droite – haut – haut – haut – gauche – bas – gauche – gauche – haut  et atteint un point A.
Exprimer, en justifiant,  OA en fonction des vecteurs d et h. Dessiner OA  sur le schéma en Annexe.

3) La combinaison de déplacement finale qui permet à Link de rejoindre la salle du « boss » final à partir du point O est : gauche – gauche – gauche – gauche – haut – droite – haut – droite – haut. On note F le point d’arrivée de Link dans la salle du boss final.

a) Quelle est, en mètres, la distance parcourue par Link dans ce cas ?

b) Exprimer, en justifiant,  OF en fonction des vecteurs d et h. Dessiner OF  sur le graphique en Annexe.

c) Selon le schéma, en combien de mouvements d’une salle à une autre, au minimum, Link serait-il en mesure d’atteindre la pièce finale? Dessiner alors en rouge, sur le schéma en Annexe, un chemin possible avec ce nombre minimum de mouvements (*).

d) Calculer la norme de OF.

4) a) En vous appuyant sur les questions 2) et 3b), démontrer que les points O, A, F ne sont pas alignés.

b) Soit B le point tel que OFAB soit un parallélogramme. Exprimer, en justifiant, le vecteur OB en fonction de d et h.

(*) En réalité dans le jeu, il faut impérativement faire la suite de combinaison indiquée dans la question 3) pour pouvoir atteindre la salle finale, autrement le jeu ne permet pas de l’atteindre par un autre chemin. On ignorera ce point ici.

Annexe 1