Niveau : Seconde
Chapitre : Fonctions affines
Première distribution (en devoir maison) le 30/11/2018
On se propose dans ce devoir maison d’étudier l’évolution du nombre d’utilisateurs quotidiens de l’application Snapchat dans le monde entre le début de l’année 2014 et aujourd’hui. Sur la base de ces données (Référence: www.statista.com, Novembre 2018) nous essayerons de modéliser des évolutions possibles de scénarii concernant l’évolution de ce nombre d’utilisateurs quotidiens (on parlera juste de « nombre d’utilisateurs », qui, pour information, est très inférieur au nombre d’utilisateurs inscrits).
Pour ceux qui ne connaissent pas l’application, Snapchat (ou Snap dans le langage courant) est une application gratuite de partage de photos et de vidéos, dont la particularité est l’existence d’une limite de temps de visualisation du média envoyé à ses destinataires (bien que cette limite de temps ait été levée récemment). Lancée en 2011, cette application a vu son nombre d’utilisateurs croitre jusqu’au début de l’année 2018 – mais ce nombre est aujourd’hui en nette baisse.
Partie I – Modélisation simplifiée des données historiques
On décide de modéliser le nombre d’utilisateurs de Snapchat par une fonction f(t) qui au temps t du nombre de trimestres écoulés depuis le 1ertrimestre 2014, est associé un nombre f(t) d’utilisateurs en millions. Lors de ce 1ertrimestre 2014, donc pour t=0, on avait comptabilisé 46 millions d’utilisateurs quotidiens. On peut donc écrire : f(0)=46.
I. 1) Associez à chaque trimestre depuis le 1ertrimestre 2014 jusqu’au 3èmetrimestre 2018 (le dernier observé) la valeur de t correspondante.
On écrira pour le trimestre k de l’année N : « Tk N -> t » , par exemple T1 2014 -> 0 pour le 1ertrimestre de l’année 2014. On rappelle qu’il y a bien sûr 4 trimestres par an.
On a remarqué que sur la période observée, le nombre d’utilisateurs a connu 4 phases très distinctes:
Période 1 (T1 2014 – T3 2015) : Phase de croissance nette
Période 2 (T3 2015 – T2 2016) : Très forte croissance
Période 3 (T2 2016 – T1 2018) : 2ème phase de croissance nette
Période 4 (T1 2018 – T3 2018) : Chute du nombre d’utilisateurs
On décide de modéliser chacune de ces 4 périodes par une « partie » de fonctions affines définies uniquement sur chacune des périodes associées. La fonction f est alors la réunion de ces fonctions affines (en langage mathématique on dit que f est une fonction affine par morceaux).
Sur la période k, on écrit ainsi que f(t)=fk(t) où fk est une fonction affine. Par exemple pour la période T1 2014 à T3 2015, on a f(t)=f1(t). Pour la période 2, entre T3 2015 et T2 2016, f(t)=f2(t) etc… On remarque qu’au « raccord » entre deux périodes le nombre d’utilisateurs est le même : ainsi, par exemple pour T3 2015 où t = 6, f(6)=f1(6)=f2(6).
I. 2) On donne ci-dessous le nombre d’utilisateurs aux points de raccord entre chacune des périodes ainsi qu’au dernier trimestre observé. Déterminez alors chacune des expressions de f1(t), f2(t), f3(t), f4(t) en fonction de t (arrondissez les valeurs au dixième près).
| Période | T3 2015 | T2 2016 | T1 2018 | T3 2018 |
| Nombre d’utilisateurs (en millions) | 94 | 143 | 191 | 166 |
I. 3) Sur le graphique en Annexe 1, représentez chacune des fonctions trouvées au I.2), puis déduisez-en la représentation de la fonction f.
I. 4) Déterminez graphiquement, puis algébriquement, le nombre d’utilisateurs au T3 2014, au T1 2016, et au T2 2017 (arrondir ce nombre au million d’utilisateurs près).
I. 5) Elaborez un tableau de variations de la fonction f entre t=0 et t=18 , les valeurs du tableau correspondant aux extrémités ainsi qu’aux raccords entre les 4 périodes.
Partie II – Modéliser des scenarii possibles d’évolution
Evolution possible 1 : la chute continue
II. 1) Dans ce scénario, l’évolution décrite par la fonction f4(t) se prolonge au même rythme sur les trimestres suivants.
Déterminez graphiquement et algébriquement à quel trimestre le nombre d’utilisateurs:
a. passerait en dessous de 100 millions d’utilisateurs.
b. atteindrait 0.
Evolution possible 2 : la chute s’accélère
II. 2) On suppose que la chute, à partir de T4 2018, est telle que le nombre d’utilisateurs perdus chaque trimestre est de 10% supérieur à celui du trimestre précédent.
a. Rappelez quel est le nombre d’utilisateurs perdus entre T2 2018 et T3 2018, durant la période 4 (qui n’est rien d’autre que le coefficient directeur de la fonction f4).
b. Déterminez à partir de quel trimestre le rythme de chute deviendrait plus de 2 fois supérieur à celui observé pendant la période 4.
c. Recopiez le tableau de valeurs ci-dessous, en le prolongeant dans le temps (donc en ajoutant des cases à droite) jusqu’au dernier trimestre où le nombre d’utilisateurs est encore positif.
| Période | T3 2018 | T4 2018 | T1 2019 | T2 2019 | T3 2019 | … |
| Variation du nombre d’utilisateurs par rapport à la période précédente (en millions) [note : les nombres sont donc négatifs…] | ||||||
| Nombre d’utilisateurs (en millions) |
d. Placez les points correspondant aux valeurs du tableau ci-dessus sur le graphique de l’annexe 1, puis reliez ces points. Prolongez la courbe jusqu’à l’axe des abscisses pour en déduire graphiquement une estimation du moment où le nombre d’utilisateurs devient nul.
Evolution possible 3 : la chute s’amortit
II. 3) On suppose que la chute s’amortit. On considère que l’évolution à partir du T3 2018 suit à nouveau celle d’une autre fonction affine f5, telle que f4(18)=f5(18) et telle qu’au T1 2023, le nombre d’utilisateurs est de 100 millions.
a. Déterminez l’expression de la fonction f5(t).
b. Que vaut f5(0) ? Ecrivez ce que signifierait concrètement le calcul de cette valeur. Pensez-vous que le calcul de cette valeur est pertinent ? Pourquoi ?
c. Représentez f5(t) sur le graphique en Annexe 1.
Bonus : Evolution possible 4 : le nombre d’utilisateurs remonte.
Proposez votre propre modélisation (avec ou sans fonction affines…) d’une remontée du nombre d’utilisateurs, en essayant d’expliquer en quelques lignes pourquoi votre modèle pourrait être réaliste. Représentez votre modèle distinctement sur le graphique en Annexe 1 à partir de T4 2018.
Annexe 1
MathsAMoi.com 