Problème 339 – Des shōnens en boucle

Niveau : Troisième
Chapitres : Arithmétique
Première distribution (en Devoir Surveillé) le 20/10/2022

Comme beaucoup de ses amis et amies, Lucia collectionne les shōnens, ces mangas destinés à l’origine aux jeunes garçons, mais qu’elle préfère pourtant largement aux autres types de manga! Elle se vante de les avoir presque tous, et de les dévorer au quotidien… Parmi ses titres favoris, trois se distinguent particulièrement : Naruto (72 volumes), Fairy Tail (63 volumes) et Blue Exorcist (27 volumes), trois séries désormais terminées. 

Le jour de son 15^ème anniversaire, un 20 Octobre, Lucia décide de recommencer au volume numéro 1 de chacune des séries, et de lire un volume de chacune des séries chaque jour, sachant qu’elle recommencerait à nouveau au début d’une série chaque fois qu’elle en complèterait la lecture.

1) Écrire la décomposition en nombres premiers des nombres 27, 63 et 72.

2) A quelle date de l’année (jour et mois) Lucia lira-t-elle à nouveau pour la première fois le même jour le volume numéro 1 d’au moins deux séries ? Quelles sont ces deux séries ?
Note : on supposera que l’année qui suit n’est pas bissextile.

3) a) A quel âge (nombre entier d’années déjà complétées) Lucia lira-t-elle à nouveau le numéro 1 des trois séries le même jour ?

b) Indiquer combien de fois Lucia aura lu chacune des séries en entier entre le jour de son 15^ème anniversaire et ce jour-là.

4) Un jour, Lucia décide de changer le rangement de ces trois séries dans son immense bibliothèque. Afin d’avoir un visuel très clair, elle veut avoir des étagères similaires, qui contiennent exactement le même nombre de volumes de chaque série. 

a) Quel est le nombre maximal d’étagères similaires que Lucia peut-elle ainsi faire ?
b) Quel est alors le contenu de chacune des étagères, en termes de nombre de volumes de chaque série?