Bande Dessinée/Comics/Manga

Problème 300 – Le Bat-signal

Niveau : Troisième
Chapitres : Transformations géométriques (Homothéties), Trigonométrie (ou Théorème de Pythagore), Agrandissement/Réduction, Volumes
Inédit, publié le 16/05/2022

Note: sur la version en ligne du problème, les angles sont écrits en italique.

Dans la nuit de Gotham City, le Bat-signal, souvent envoyé par le commissaire de police James Gordon, est le moyen d’appeler à l’aide Batman – le héros de DC Comics. L’homme chauve-souris, ainsi alerté, réagit généralement très rapidement à ce signal facilement visible dans le ciel. Dans ce problème, nous allons tenter d’en étudier un peu les caractéristiques.

Le Bat-signal est projeté à partir d’un spot très lumineux à moitié caché par le symbole de Batman, tel qu’on peut le voir ci-dessous sur l’Image 1.

Image 1 (extraite du film « Justice League »)

Pour modéliser la situation, visible en Annexe, on va supposer que la projection du Bat-signal se fait grâce à une source lumineuse, représentée par un point unique S, insérée dans un spot depuis le sommet d’un immeuble de Gotham City, à 150 mètres de hauteur. Cette source lumineuse crée un cône lumineux(*), en projetant dans le ciel, avec des dimension agrandies, l’image d’une chauve-souris au cœur d’un disque formant la sortie du spot. 

On donne les informations suivantes : 

* On appelle B le centre du cercle en sortie de spot, pile au cœur de la chauve-souris. On appelle M et N les points du cercle situés au plus près des extrémités des ailes. On admet que [MN] forme un diamètre de ce cercle. On a : SB = 1,5 m et MN = 1 m.

* On admet que l’image agrandie résulte d’une homothétie de centre S. On appelle les points M’, B’, N’ sont les points images respectifs de M, B, N par cette homothétie. 

* L’image agrandie dans le ciel se trouve à la verticale d’un autre gratte-ciel, de même hauteur que le gratte-ciel où se trouve le spot. On appelle H le point à la verticale de B sur cet autre building.

On donne SH = 500 m.

* L’angle BSH (ou B’SH) donne l’inclinaison du spot par rapport à l’horizontale. On a BSH = 30°.

On arrondira tous les résultats du problème à l’entier près (distance, aire et volume en m, m2 et m3).

1) a) Calculer la distance HB’. 
b) En déduire la hauteur de l’image dans le ciel par rapport au sol (représentée par la hauteur de B’).

2) Calculer la distance SB’.

3) a) Quel est le rapport de l’homothétie de centre S qui transforme le disque en sortie de spot en l’image agrandie dans le ciel ?
b) En déduire le diamètre M’N’ de l’image agrandie dans le ciel. 

4) On suppose que la chauve-souris occupe le tiers de l’aire du disque en sortie de spot.
Calculer l’aire occupée par la chauve-souris sur l’image projetée dans le ciel.

5) Calculer le volume du cône de lumière délimité en base par le disque de diamètre [M’N’] et par le sommet S.

Annexe

(*) Remarque : ceux qui ne voient pas le cône de lumière sur le croquis en Annexe pourront se convaincre de sa forme en tournant la feuille à l’envers…

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