Niveau: Première (Spécialité Maths)
Chapitres: Probabilités, Variables aléatoires
Inédit, publié le 04/04/2022
Parmi les grands classiques des jeux de société où l’on joue souvent en famille, la Bonne Paye, créée il y a presque 50 ans, fait bonne figure à côté des autres Monopoly ou Trivial Pursuit, même s’il est sans doute un peu moins connu. Jeter le dé, avancer son pion, gagner ou perdre de l’argent tout au long d’un ou plusieurs mois où l’on reçoit à chaque tour un salaire : c’est, en quelques mots, les règles basiques de ce jeu très facile à comprendre. Et, bien sûr, comme dans tous les jeux où le dé a son importance, la Bonne Paye n’échappe pas à ces moments où l’on parie sur un numéro de dé tiré pour éventuellement gagner de l’argent. Cela se produit particulièrement à travers deux évènements du jeu que nous allons étudier ici : la carte « Besoin d’argent » et la Loterie.
La carte « Besoin d’argent » peut être tirée quand un joueur tombe sur une case « Courrier ». Une image de la carte et des règles du jeu sont visibles en Annexe, Image a. Seul le joueur qui tire la carte peut alors jouer à ce jeu, en sachant qu’il peut décider de jouer à n’importe quel moment de la partie. Un joueur peut jouer une fois par carte possédée (il peut en avoir plusieurs).
La Loterie, elle, est une case du jeu (Annexe, Image b) . Quand un joueur tombe dessus, tous les joueurs ont la possibilité de participer : ceux qui souhaitent jouer payent chacun 100 € et parient sur un numéro différent entre 1 et 6. Le dé est alors tiré : celui qui a donné le bon numéro remporte alors 1 000 €.
1) Montrer que ces deux jeux de hasard sont favorables aux joueurs. On justifiera tous les calculs effectués.
Indication : On pourra appeler X (respectivement Y) la variable aléatoire associé au gain obtenu à la Loterie (respectivement au jeu « Besoin d’argent »). On pourra notamment exprimer Y en fonction d’un montant misé par le joueur.
2) Le plus petit montant de pari autorisé dans le jeu « Besoin d’argent » est de 50 €.
a) Justifier que dans tous les cas, le jeu « Besoin d’argent » est plus intéressant que la Loterie.
b) Justifier également qu’un joueur a tout intérêt à miser la mise maximale autorisée au jeu « Besoin d’argent ».
3) Jules est dans une fin de partie où il a 1 200 € de retard sur la joueuse en tête, Tiphaine, mais possède encore 2 cartes « Besoin d’argent ».
Jules calcule l’espérance de gain et estime qu’il a encore toutes les chances de gagner. Tiphaine, elle, réfléchit en termes de probabilités, et pense au contraire que les chances de Jules sont faibles.
Expliquer le raisonnement de chacun et déterminer qui a plutôt raison.
Annexe
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