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Problème 207 – Votes à égalité de chances dans Among Us

Niveau : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Probabilités, Variables aléatoires
Inédit, publié le 11/05/2021

Il est difficile pour beaucoup de ne pas comparer le jeu multijoueur en ligne « Among Us », sorti en 2018, au jeu des Loups Garous. En effet, selon le même principe que les villageois et les loups garous, on trouve dans Among Us des « Équipiers » d’un vaisseau spatial, qui doivent débusquer qui sont les « Imposteurs » parmi eux avant qu’ils n’éliminent tous les Équipiers. On retrouve ainsi le même principe où les Imposteurs éliminent les Equipiers un à un, et où les joueurs encore en vie votent pour décider qui ils éjectent du vaisseau pour l’éliminer. Nous allons donc dans ce problème calculer quelques probabilités autour de ces tours de votes.

On suppose qu’il y a au début du jeu, au tour n=0, 10 joueurs, dont 8 Équipiers et 2 Imposteurs. On considère qu’à chaque tour :

– 1 Équipier va être éliminé par le ou les Imposteurs restant(s). S’il ne reste que 2 personnes en jeu dont 1 Imposteur, l’Équipier est donc éliminé.

– S’il reste encore des Équipiers à l’issue de ce meurtre, un vote est organisé, et une personne va être éjectée du vaisseau à l’issue du vote – cela peut être 1 Équipier OU 1 Imposteur(1). Pour ce problème, on suppose qu’à chaque vote, toutes les personnes encore en jeu ont une chance égale d’être éjectée du vaisseau. Toutefois, s’il ne reste que 2 Imposteurs et 1 Équipier pour le vote, ce dernier est forcément éliminé car les Imposteurs se connaissent.

Le jeu s’arrête quand il n’y a plus d’Équipiers ou d’Imposteurs. On appelle, pour tout entier naturel n, (An) (respectivement (Bn)) une suite de variables aléatoires qui au nième tour, associe le nombre d’Équipiers (respectivement d’Imposteurs) encore en jeu à l’issue du tour.
On pose :  A= 8 et B= 2.
Le jeu s’arrête donc dès qu’on a une valeur k telle que Ak = 0 ou Bk = 0.

1) Expliquer pourquoi, dans cette modélisation du jeu :
a) Pour tout entier n tel que 0 ≤ n ≤ 4, An + Bn = 10 – 2n. 
b) Il y a au maximum 4 votes possibles dans le jeu.

2) a) Quelles sont les valeurs possibles de A1 et B1 ?
b) Établir les lois de probabilité respectives de A1 et B1.

3) a) Compléter les pointillés dans l’arbre de probabilités ci-dessous.

b) Déduire de l’arbre :
– la probabilité que le jeu se termine au bout de 2 tours de vote.
– la probabilité qu’il ne reste qu’un seul Imposteur au bout de 2 tours de vote.

4) a) On suppose qu’à l’issue du iième tour, avec i2, Ai = k.  Exprimer p(Ai+1 = k – 2) en fonction de k et i.

b) En déduire la probabilité que le jeu se termine avec les 2 Imposteurs toujours en vie.

(1) Dans ce modèle, pour simplifier, on exclura le cas où plus d’un Équipier est éliminé avant que le vote n’ait lieu, et on exclura le cas où aucune personne n’est éjectée à l’issue du vote.

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