Niveau : Troisième
Chapitres : Fonctions affines, Théorème de Thalès
Inédit, publié le 07/12/2020
La durée d’une batterie est souvent l’un des arguments les plus souvent mentionnés quand il s’agit de mettre en avant les caractéristiques d’un téléphone portable. On parle de batteries capables de tenir 10 heures, 20 heures ou plus… mais tout va dépendre de l’usage que l’on fait de son téléphone et de l’usure de la batterie au fur et à mesure qu’on lui faire subir des cycles répétés de charge et de décharge.
Prenons dans ce problème l’exemple de deux amis, Mathis et Naël, qui justement comparent les performances de leur téléphone respectif qu’ils viennent chacun d’acquérir (on suppose donc que les batteries de ces téléphones sont neuves). Mathis utilise son téléphone, dont la capacité d’une batterie pleine est de 2 610 milliampères-heures (une unité notée mAh), pour beaucoup de vidéos et de jeux, alors que Naël, dont le téléphone a une batterie pleine de capacité moindre (1 800 mAh), ne l’utilise que modérément pour regarder ses messages et son e-mail. Pour simplifier la modélisation, on admet pour ce problème que chacun consomme sa batterie avec un rythme constant tout au long de la journée.
1) Mathis épuise la batterie pleine de son téléphone en 9 heures et Naël en 15 heures.
Calculer le rythme de consommation de batterie de Mathis et de Naël en mAh par heure.
2) On pose t le temps écoulé en heures, en supposant que, à t = 0, Mathis et Naël, au même moment le matin, arrêtent de recharger la batterie (donc pleine) de leur téléphone et commencent à l’utiliser.
On appelle f et g les fonctions qui à t associent respectivement la capacité restante au temps t de la batterie du téléphone de Mathis et de celui de Naël.
a) Donner, sans justifier, l’expression de fonctions f et g en fonction de t. Quelle est la nature des fonctions f et g ?
b) Tracer les courbes représentatives de f et g sur le graphique en Annexe 1.
c) Déterminer de manière graphique la capacité restante de chacune des batteries pour t0 = 3.
d) Déterminer de manière graphique les temps t1 et t2 où chacune des deux batteries n’a plus que le tiers de sa capacité maximale respective.
3) A quel moment t3, exprimé en heures et minutes, les batteries des deux amis ont-elles la même capacité ? Justifier le résultat par un calcul.
4) Certains constructeurs affirment qu’au bout de 500 cycles de charge et décharge, la capacité maximale de la batterie diminuera à 80% de la capacité maximale d’une batterie neuve. Mathis affirme alors à Naël que, en continuant à utiliser leur téléphone chacun de la même manière, la durée totale d’utilisation de leur téléphone dans une journée diminuera elle aussi, après 500 cycles, à 80% de la durée totale d’utilisation d’une batterie neuve.
a) Donner l’expression en fonction de t des fonctions f2 et g2, qui sont similaires aux fonctions f et g, mais après 500 cycles de charge et décharge.
b) Tracer les courbes représentatives de f2 et g2 sur le graphique en Annexe 1,
c) Expliquer pourquoi l’utilisation du théorème de Thalès permet de supporter l’affirmation de Mathis.
Indications : on pourra, pour l’explication, nommer librement des points sur le graphique. Le raisonnement pour l’une des deux batteries suffira.
Annexe 1
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