Problème 165 – Mille bornes

Niveau : Sixième/Cycle 3
Chapitres : Calculs numériques
Inédit, publié le 23/10/2020

Classique parmi les classiques, le jeu « Mille Bornes » est, depuis 1954, le jeu français le plus vendu dans le monde. Inspiré des courses automobiles, le jeu a pour but d’être le premier à poser des cartes pour faire exactement 1 000 bornes (c’est à dire 1 000 kilomètres), tout en ayant réussi à poser des parades contre les attaques des adversaires.

Les règles sont les suivantes : chaque joueur, à son tour, pose une carte puis en pioche une autre. Il doit toujours débuter par poser une carte « feu vert » pour être autorisé à rouler. Ensuite, il peut poser des cartes « distance » pour avancer (leur nombre dans le jeu et leur valeur – de 25 km à 200 km – sont résumées dans l’Annexe 1) mais si un joueur adverse pose une carte « attaque », le joueur est obligé de poser la carte « parade » associée (voir un exemple en Annexe 2) avant d’être autorisé à poser des cartes « distance ». Un joueur, quand il est ainsi bloqué et qu’il ne peut pas jouer, est obligé de perdre un tour en jetant une carte à la défausse avant de piocher une autre carte. On peut passer des tours entiers à attendre d’avoir la carte « parade » ce qui fait perdre beaucoup de temps pour atteindre l’objectif. Pour gagner, il faut constituer tout pile 1 000 km avec les cartes « distance » – on ne peut pas dépasser 1 000 km^(*).

On justifiera soigneusement les réponses et on expliquera les calculs.

1) Quel est le nombre de kilomètres inclus au total dans un jeu de Mille Bornes ?

2) En incluant la carte feu vert initiale jouée au 1^er tour, quel est le nombre minimum de tours pour gagner une partie de Mille Bornes ?

3) On image à partir d’ici que 3 collégiens, Xynthia, Yanis et Zoé, font une partie de Mille bornes.

Xynthia joue. Elle a bien posé sa carte feu vert initiale au 1^er tour, mais à chaque fois qu’elle pense pouvoir poser une carte « distance », ses adversaires lui infligent une carte « attaque ». A chaque fois, elle doit passer 2 tours avant de trouver une « parade » au troisième. Xynthia subit 6 attaques d’affilée (on supposera que les attaques ne se superposent pas).

Au bout de combien de tours Xynthia peut-elle enfin poser sa première carte « distance » ?

4) Yanis joue et a déjà posé 775 km en distance, sachant que les 3 joueurs, tous ensemble, ont déjà utilisé (ou défaussé) 4 cartes de chacune des valeurs « distance ».

a) Quel est le nombre de kilomètres qu’il manque à Yanis pour faire 1 000 kilomètres ?

b) A supposer qu’il n’utilise, à partir d’ici, qu’une seule valeur « distance », potentiellement plusieurs fois, quelle est la ou quelles sont les possibilité(s) que Yanis a pour compléter la distance manquante ? 

5) (Plus difficile) Zoé finit par gagner la partie en affirmant : « En utilisant exactement 4 valeurs différentes de « distance » (note : parmi les 5 possibles), j’ai gagné en posant le même nombre de cartes pour chaque valeur » . Quelles sont les valeurs  «  distance » qu’elle a utilisées et quel est le nombre de cartes qu’elle a posées pour chaque valeur? Justifier qu’il n’y a qu’une seule possibilité.

Annexe 1 – Cartes « Distance » dans un jeu « Mille bornes »

Annexe 2 – Exemple d’attaque et parade

(*) Pour ceux qui connaissent le jeu : on ignorera dans le cadre de ce problème les « bottes ».