Niveau : Troisième
Chapitres : Trigonométrie (éventuellement : Théorème de Thalès, Théorème de Pythagore)
Inédit, publié le 20/09/2020
Note: dans la version en ligne, les angles sont indiqués en gras italique.
Olive et Tom (autrement nommé « Capitaine Tsubasa »), à la hauteur des autres Dragon Ball ou Les Chevaliers du Zodiaque, fait partie de ces dessins animés japonais cultes des années 1980-90 qui aujourd’hui encore, touchent les plus jeunes en étant rediffusés puis étendus. Ceux qui ont regardé cette série dédiée au football ne peuvent pas oublier les matchs interminables et l’inventivité des créateurs qui ont imaginé des situations parfois totalement invraisemblables. L’une d’elle est l’objet de ce problème : « la catapulte infernale » des frères jumeaux Jason et James Derrick.
Dans l’épisode 74 de la série (qu’on vous invite à regarder pour le plaisir), les frères Derrick, adversaires de l’équipe du héros Olive, inventent une combinaison hors du commun : alors qu’il est dans la zone de but, Jason se jette sur le sol, dos retourné, les jambes pliées. James saute sur les jambes de son frère qui le propulse, telle une catapulte, à une hauteur qu’aucun adversaire ne peut atteindre. James peut alors frapper de la tête un ballon situé très haut, pour le propulser vers le but avec succès. La situation est totalement loufoque, mais elle est inoubliable !
On modélise la situation par la figure visible en Annexe 1. La cage de but est représentée par les points en pointillés EFD : D est un point du sol à l’entrée du but, F est en haut du but sur la barre transversale, à 2,44 mètres du sol (on négligera l’épaisseur de la barre dans ce problème), et la ligne FE représente le fond des filets. Jason est situé au sol, au point B, à 9 mètres de l’entrée D du but. Il propulse verticalement son frère James à 5 mètres du sol au point C. Les droites (CF) et (BD) se coupent en un point imaginaire A au sol, situé derrière le but. On voit alors que l’angle α1 = BAC est l’angle minimal, par rapport au sol, avec lequel James doit frapper le ballon pour qu’il rentre dans le but sous la barre transversale, tandis que α2 = BDC est l’angle maximal.
Dans ce problème, aucune mesure directe sur la figure ne sera admise pour répondre aux questions. Tous les résultats seront arrondis au dixième.
1) Déterminer α2.
2) a) On appelle F’ le point d’intersection de la droite (BC) avec la droite parallèle à (AB) passant par F. Placer le point F’ sur la figure de l’Annexe 1.
b) Justifier que CFF‘ = α1.
c) Calculer CF’ (on pourra admettre directement que DFF’B est un rectangle).
d) En déduire la mesure de l’angle α1.
3) James a frappé le ballon avec un angle par rapport au sol β = BGC = 20°, G étant le point au sol hypothétique situé sur le segment [AD] si le ballon, frappé à partir du point C, continuait tout droit sans être arrêté par les filets du but. On appelle H le point d’intersection des segments [CG] et [FD].
a) Placer les points G et H sur la figure de l’Annexe 1.
b) Calculer la longueur BG.
c) En déduire la longueur GD.
d) Déterminer à quelle hauteur DH le ballon se situe au moment où il rentre dans le but.
4) a) Calculer la longueur HG.
b) Déterminer la distance CH parcourue par le ballon entre le lieu où il est frappé et là où il rentre dans le but.
Annexe 1
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