Problème 138 – Le jeu de Lucky Luke

Niveau : Terminale (Spécialité Maths)
Chapitres : Combinatoire, Dénombrement
Inédit, publié le 16/07/2020

Retournons environ 14 ans en arrière, à cette époque où, au tout début de votre long chemin pour comprendre (un peu…) les mathématiques, vous commenciez à compter avec vos doigts. Vous avez peut-être oublié qu’à cette époque votre maîtresse vous faisait jouer au « jeu de Lucky Luke » pour vous apprendre à compter (NB : il est vrai que le lien au personnage de bande dessinée est plutôt ténu…). La règle, que vous avez peut-être oubliée, est très simple : vous mettiez les mains dans votre dos, et la maîtresse vous disait un nombre entre 0 et 10. Vous deviez alors vous débrouiller pour faire apparaître, avec vos deux mains, un nombre de doigts levés égal au nombre épelé. Dans ce problème qui vous renvoie à votre plus jeune âge, on propose de faire quelques petits calculs de dénombrements autour de ce jeu.

1) Avec 10 doigts, combien de combinaisons existe-t-il pour faire apparaître n doigts, avec 0≤n≤10 ? Justifier votre réponse.

2) Montrer qu’il y a, au total, 1 024 possibilités différentes de montrer ses doigts dans ce jeu (y compris 0 doigts).

3) Justifier que le nombre de combinaisons avec n doigts levés est le même que le nombre de combinaisons avec n doigts non levés.

4) Une maîtresse joue avec ses élèves au « jeu de Lucky Luke ».

Lucie, 4 ans, ne connaît pas encore le nombre n qui va être prononcé, mais elle sait que dans tous les cas, elle veut faire apparaître 2 doigts sur sa main gauche.

a) Au moment où la maîtresse dit le nombre n, combien Lucie a-t-elle de possibilités de montrer ses doigts ? (Indication : répondre par disjonction de cas en fonction de n).

b) Calculer ce nombre de possibilités pour n = 6.

5) Sans démontrer le résultat de manière formelle ou faire de calculs, expliquer pourquoi le jeu de Lucky Luke nous permet d’établir intuitivement, pour un nombre n, avec 0 ≤ n ≤ 10, l’égalité suivante :