Problème 137 – Les plus beaux villages du Périgord

Niveau : Sixième / Cycle 3
Chapitres : Longueurs
Inédit, publié le 13/07/2020

Dans des moments où il faut privilégier les vacances dans son pays plutôt qu’à l’étranger, chacun peut prendre l’occasion de trouver les trésors qui se trouvent non loin de chez soi. C’est ainsi que l’on peut, en France, redécouvrir le bonheur que constituent des villages traditionnels qui forment le terroir du pays. Depuis 1982, l’association des plus beaux villages de France s’attache ainsi à sélectionner ces quelques villages qui, par leur architecture, leur histoire, leur géographie, arrivent à créer une émotion particulière à chaque fois qu’on les traverse – et ce quelque soit l’âge du visiteur. On ne vous encouragera que trop à aller les voir. Ce problème leur rend hommage.

La Dordogne (historiquement connue sous le nom de Périgord), est, avec l’Aveyron en France, le département qui compte le plus de ces villages exceptionnels (il y en a 10). C’est parce qu’elle en a entendu parler que Lily, à 12 ans, convainc ses parents d’aller visiter tous ces villages, en voiture, en vélo et à pied. En Annexe 1, on trouve une carte du Périgord qui permet juste de donner une idée de la position de ces différents villages (Note : l’échelle n’étant pas donnée, aucune mesure ne sera possible sur cette carte).

Dans ce problème, il est inutile de faire les schémas à main levée à l’échelle : il suffit de les coder proprement. Il faut faire attention à ne pas se perdre dans le nom des villages : on recommande pour cela de se servir des lettres utilisées pour les désigner sur la figure et de noter les distances.

De plus, il faut prendre au garde au fait qu’il y a 4 segments à main levée à tracer sur une même figure, et qu’il ne faut donc pas occuper tout l’espace alloué dès la première question (on recommande ainsi de lire tout l’énoncé avant de commencer).

1) Le premier jour, venant d’Angoulême en voiture, Lily et ses parents veulent commencer par le village le plus au nord, Saint-Jean-de-Côle, avant de faire une première nuit à Saint-Amand-de-Coly. D’Angoulême à Saint-Jean-de-Côle, ils parcourent 71 km. De Saint-Jean-de-Côle à Saint-Amand-de-Coly, ils complètent par 68,6 km.

a) En Annexe 2, représenter par un unique segment fait à main levée le chemin entre Angoulême (noté O, déjà placé) et Saint-Amand-de-Coly (noté B). Placer sur ce segment, le village de Saint-Jean-de-Côle (noté A), et marquer les distances connues.

b) Calculer, en justifiant votre calcul, la distance parcourue en ce 1^er jour.

2) Le lendemain, de Saint-Amand-de-Coly, ils se dirigent vers Limeuil, toujours en voiture. Les deux villages sont séparés par 48,8 km. Sur le chemin, le village de Saint-Léon-sur-Vézère est à 18,8 km de Saint-Amand-de-Coly.

a) Sur le même schéma en Annexe 2, représenter par un autre segment fait à main levée (partant de l’extrémité du précédent) le chemin entre Saint-Amand-de-Coly et Limeuil (noté D). Placer sur ce segment, le village de Saint-Léon-sur-Vézère (noté C), et marquer les distances connues.

b) Calculer, en justifiant votre calcul, la distance entre Saint-Léon-sur-Vézère et Limeuil.

3) Le troisième jour, Lily est motivée pour faire la suite de la découverte des villages en vélo, en location. De Limeuil, elle et ses parents descendent vers le sud à Montpazier, remontent à Belvès et terminent la balade à Castelnaud-la-Chapelle. La distance entre Limeuil et Montpazier est de 27,4 km, celle entre Belvès et Castelnaud-la-Chapelle est de 15,1 km. Le total du parcours du jour est de 58,6 km.

a) Sur le même schéma en Annexe 2, représenter par un troisième segment fait à main levée le chemin complet entre Limeuil et Castelnaud-la-Chapelle (noté G). Placer sur ce segment les villages de Montpazier (noté E) et Belvès (noté F) (note : le fait que les villages ne soient pas alignés en réalité n’est pas important, puisque c’est un schéma). Indiquer sur le schéma les distances connues.

b) Calculer, en justifiant votre calcul, la distance entre Montpazier et Belvès.

4) Enfin, Lily propose de compléter la traversée des villages à pied (on ignorera tout le parcours qui ramène la famille à Limeuil où ils doivent récupérer la voiture). De Castelnaud-la-Chapelle, Lily et ses parents commencent la matinée en marchant vers Domme à 8,2 km de là. L’après-midi, ils font le chemin de 10,4 km vers Beynac-et-Cazenac, en sachant qu’à mi-chemin, ils font une pause à La Roque-Gageac.

a) Sur le même schéma en Annexe 2, représenter par un dernier segment fait à main levée le chemin entre Castelnaud-la-Chapelle et Beynac-et-Cazenac (noté J). Placer sur ce segment les villages de Domme (noté H) et La Roque-Gageac (noté I). Indiquer les distances connues et les codages appropriés.

b) Calculer, en justifiant votre calcul, la distance parcourue entre Castelnaud-la-Chapelle et La Roque-Gageac.

5) Conclure en calculant la longueur de tout le chemin parcouru pour traverser les 10 villages de Saint-Jean-de-Côle à Beynac-et-Cazenac (représenté par la ligne brisée ABCDEFGHIJ).

Annexe 1 – Carte des plus beaux villages du Périgord