Problème 131 – La parabole du grand jeté

Niveau : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Polynômes du second degré, Dérivation
Inédit, publié le 20/06/2020
Possibilité de travail interdisciplinaire avec la Physique-Chimie

En danse classique, le « grand jeté » fait partie des pas les plus symboliques. Ceux ou celles qui pratiquent ce sport ou cet art savent qu’il est l’un des pas les plus difficiles a acquérir, puisqu’il s’agit d’effectuer dans un bond un grand écart au milieu du bond. En physique ou en mathématiques, le grand jeté se caractérise par le fait que le centre de gravité du danseur ou de la danseuse effectue, lors de ce mouvement, une parabole. Nous allons justement, dans ce problème, nous intéresser aux caractéristiques de cette parabole.

On imagine un danseur effectuant un grand jeté. On se place dans un repère orthonormé (O, I, J) où O représente le point au sol à la verticale du centre de gravité du danseur, quand il commence le bond. On considère que le centre de gravité du danseur d’une taille de 1,90 m est situé à 1,32 m du sol.x(t) représente le déplacement horizontal, en mètres, du centre de gravité du danseur en fonction du temps t le long de l’axe des abscisses, et y(t) son déplacement vertical le long de l’axe des ordonnées. On a t=0 au moment où le danseur quitte le sol. On montre (NB : nous vous laissons le plaisir de le faire en cours de physique) que le centre de gravité se comporte comme un projectile et que les équations de son mouvement dans le repère (O, I, J) sont :

x(t) = V₀ (cosα) t
y(t)= -4,905 t² + V₀ (sinα) t + 1,32

V₀ est la vitesse avec laquelle le danseur, et donc son centre de gravité, est lancé le long d’un axe qui fait un angle α avec l’axe des abscisses (voir figure en Annexe 1). V₀est appelée « la vitesse de projection » et α « l’angle de projection ».

Dans les questions 1) à 4), on suppose que que V₀ = 4 m/s et que α = 40°.

1) a) Calculer y’(t), la dérivée en fonction de t (NB : qu’il faudrait écrire plus rigoureusement dy/dt), en fonction de t, V₀et α.
b) Déterminer, en secondes, le moment t_o où le danseur atteint sa hauteur maximale dans son grand jeté (arrondir au millième de seconde).
c) En déduire la hauteur atteinte par le centre de gravité à ce moment là, et donc son élévation maximale lors de ce saut.

2) Exprimer le déplacement vertical y(t) du centre de gravité du danseur en fonction de son déplacement horizontal x(t) (y(t) devient alors y(x) en remplaçant x(t) par x)
Note : on conservera d’abord l’expression entière avec V₀et α, qu’on remplacera avec les valeurs numériques uniquement à la fin.

3) a) Utiliser t_o pour calculer le déplacement horizontal x(t₀) effectué par le centre de gravité du danseur au moment où il atteint la hauteur maximale.
b) Utiliser les propriétés de la parabole représentative de y(x) pour retrouver le résultat numérique autrement.
c) De même, utiliser les propriétés de la parabole représentative de y(x) pour retrouver le résultat de la question 1c).

4) a) Justifier que le déplacement horizontal x(t₁) effectué par le centre de gravité du danseur au moment où il retombe au sol est donné par:

x(t₁) = (V₀² (cosα)(sinα)) / 4,905.

Calculer la valeur numérique.

b) Utiliser les propriétés de la parabole représentative de y(x) pour retrouver le résultat numérique autrement.

5) Dans un second bond, avec une même vitesse de projection, le centre de gravité du même danseur a atteint une hauteur de 1,70 m. Déterminer dans ce cas l’angle de projection du danseur (arrondir au degré près).

Annexe 1