Niveau : Terminale (S ou Option Maths Expertes)
Chapitre : Nombres complexes
Inédit, publié le 24/02/2020
Note: sur la version en ligne du problème, les vecteurs sont écrits en italique.
Qu’il soit composé d’une dizaine ou d’une centaine de musiciens, l’orchestre symphonique (ou philarmonique) peut être perçu comme la quintessence de la musique classique. C’est en réalisant l’harmonie parfaite entre les cordes, les cuivres, les vents, et les percussions que les chefs d’orchestre nous ont permis, depuis des siècles, d’écouter les plus belles œuvres de la musique classique, que ce soit pour des morceaux de toujours comme l’Ode à la Joie de Beethoven, la Flûte Enchantée de Mozart, le Boléro de Ravel, ou des œuvres plus modernes comme les bandes originales de film – par exemple celle de Star Wars composée par John Williams.
Dans ce problème, nous nous intéressons à la position des musiciens dans un orchestre. On considère que le pupitre du chef d’orchestre est positionné à l’origine d’un plan complexe muni d’un repère orthonormé (O, u, v), u étant orienté vers la droite du chef d’orchestre, et v en face de lui. On considère que ||u|| = ||v|| = 1 mètre. On suppose aussi (bien que cela change d’un morceau à un autre) que le chef d’orchestre a en face de lui, sur un demi-plan, tous ses musiciens (hors harpiste et xylophoniste) positionnés sur 5 demi-cercles de centre O et de rayons entiers, de 2 mètres pour le 1er demi-cercle (où l’on trouve uniquement les vents) à 6 mètres pour le 5ème demi-cercle (sur lesquels on peut trouver, entre autres, les percussions) (voir Figure 1).
On pourra dans ce problème, placer les points évoqués sur la Figure 1 pour se donner une idée. Toutefois, la figure ne pourra pas être utilisée pour justifier des réponses aux questions.
Dans tout le problème, on pourra arrondir les distances au dixième de mètre, les mesures d’angle au centième de radian.
Figure 1(*)
1) On considère 2 musiciens situés aux positions A et B d’affixes respectives zA et zB dans le plan complexe, définies ainsi:
Point A : L’affixe de la position de ce bassoniste est un imaginaire pur. Le bassoniste est à 5 mètres du chef d’orchestre.
Point B: Pour se retrouver à la place de ce violoncelliste à partir de sa position en O, le chef d’orchestre doit se déplacer de 2,4 mètres sur la gauche et de 3,2 mètres vers l’avant.
a) Donner, sans justifier, les affixes zA et zB en écriture algébrique.
b) En calculant |zA| et |zB|, justifier sur quels demi-cercles ces 2 musiciens sont placés.
2) a) Calculer les arguments de zA et zB.
b) Si le chef d’orchestre regarde le bassoniste positionné en A et se tourne vers le violoncelliste positionné en B, de quel angle et dans quel sens s’est-il tourné ?
3) Un violoniste est situé au point V d’affixe zV tel que V soit le point symétrique du point A par rapport à B.
a) Montrer que zV est égal à -4,8 + 1,4i.
b) En déduire que le violoniste est situé sur le 4ème demi-cercle.
4) Après s’être orienté vers le violoniste situé en V, le chef d’orchestre se tourne d’un quart de tour dans le sens horaire pour lancer le timbalier situé sur le 5ème demi-cercle, au point T d’affixe zT.
a) Déterminer les écritures trigonométrique et algébrique de zT.
b) Calculer la distance qui sépare le violoniste du timbalier.
5) Le chef d’orchestre finit l’œuvre avec les trombones. Il pointe alors le tromboniste situé au point R, d’affixe zR, tel que VARO soit un parallélogramme.
a) Déterminer zR en écriture algébrique.
b) Vérifier que le tromboniste situé en R est bien sur le 5ème demi-cercle, où se trouvent tous les trombonistes.
(*) Source : http://foudemusique.free.fr
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