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Problème 048 – Qui veut gagner des millions ?

Niveau : 1èreS/Spécialité Maths
Chapitres : Suites, Probabilités
Inédit, publié le 12/09/2019

Dans ce problème, nous allons proposer une modélisation simplifiée de la probabilité de gagner au jeu « Qui veut gagner des millions ? ». Dans ce célèbre jeu télévisé d’origine britannique adapté en France en 2000, un présentateur (rôle très longtemps tenu par l’iconique Jean-Pierre Foucault) et un seul joueur sont face-à-face. Le joueur doit répondre à une série de 15 questions aux choix multiples (4 réponses possibles à chaque fois, une seule réponse correcte), en sachant qu’il perd à la première erreur.  

Le joueur tente donc d’aller le plus loin possible, gagnant un montant d’autant plus élevé qu’il répond à un nombre élevé de questions, mais perdant quasiment tout s’il fait une erreur. Il doit donc volontairement décider de s’arrêter s’il considère qu’il n’est plus en mesure de répondre à une question pour ne pas perdre ce qu’il a déjà gagné. La seule nuance est que si joueur passe un 1er palier après la 5ème question, et un 2nd après la 10èmequestion, il s’assure un gain minimal (1000 euros pour le 1er palier, 24 000 euros pour le 2ème) même si il donne une réponse fausse ensuite. Le joueur qui peut répondre à 15 questions gagne la fameuse somme d’un million d’euros*.

Partie A – Un joueur chanceux

Supposons qu’un joueur décide de répondre strictement au hasard sur chacune des quinze questions.

1) Quelle est alors la probabilité qu’il réponde juste aux 15 questions ?

2) Quel est le nombre maximal de questions d’affilée pour lequel la probabilité qu’il réponde juste à toutes les questions est supérieure à 1% ?

Partie B – Un modèle progressif

On suppose cette fois-ci qu’un joueur a une probabilité de 99% de répondre juste à la première question, puis que la probabilité de répondre juste à chaque question est, jusqu’à la question 10 incluse, inférieure de 3% à la probabilité de répondre juste à la question précédente. Puis, jusqu’à la question 15, la différence de probabilité pour répondre juste monte à 15% (les questions deviennent drastiquement plus difficiles) entre 2 questions successives.

On modélise par une suite (pn) la probabilité de répondre juste à la question n pour n ≥ 1.

1) On s’intéresse dans cette question uniquement au cas n ≤10.
a) Donner p1, puis calculer p2 et p3.
b) Donner sans justifier la nature de la suite (pn) et donner ses caractéristiques.
c) En déduire l’expression de pn en fonction de n.
d) Exprimer alors, en fonction de n, la probabilité de répondre aux n premières questions d’affilée.
e) Calculer la probabilité de répondre à 10 questions d’affilée.

2) On pose (rn) la suite telle que rn = pn+10 pour n ≥ 0.
a) Donner sans justifier la nature de la suite (rn) et donner ses caractéristiques.
b) Exprimer alors, pour n>10, l’expression de pn en fonction de n.
c) En déduire dans ce modèle la probabilité de gagner 1 million d’euros.

Partie C – N’oublions pas les jokers !

Dans le jeu, quand il ne connaît pas la réponse à une question, un joueur peut disposer de 3 jokers : le vote du public, l’appel à un ami et le 50 : 50. Sur la base du modèle de la partie B, on suppose que l’utilisation d’un joker permet d’être certain d’avoir la bonne réponse s’il est utilisé avant la question 10 incluse, mais que cette utilisation ne permet d’avoir la bonne réponse qu’avec une certitude de 75% si ils sont utilisés après la question 10.

Un joueur hésite entre utiliser tous ses jokers sur les questions 8, 9, et 10, pour s’assurer le 2nd palier, ou au contraire utiliser tous ses jokers sur les questions 13, 14, 15. Quelle approche vous paraît la plus pertinente ? Justifier votre réponse (il n’y a pas qu’une réponse possible).

* Pour information: il n’y a eu qu’un seul gagnant à 1 million d’euros dans toute l’histoire du jeu...

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