Cinéma

Problème 043 – Le code du Labyrinthe

Niveau : Quatrième
Chapitres : Probabilités, Conversions, Transformations géométriques
Inédit, publié le 26/08/2019


Véritable trilogie à succès en roman, L’Epreuve (en anglais : « the Maze Runner »), écrit par James Dashner, est plus couramment connu sous le nom du premier film qui adapta le roman: le Labyrinthe. On suit dans cette l’histoire le parcours de Thomas, qui se réveille un matin amnésique, prisonnier d’un labyrinthe géant dont le plan change tous les jours, avec d’autres garçons qui ignorent également la raison de leur présence dans cet endroit. 

Au fur et à mesure qu’ils explorent le Labyrinthe, Thomas et ses amis finissent par comprendre son plan et sa division en 8 sections. Ils comprennent qu’une section est ouverte par jour, en suivant un ordre d’ouverture séquentiel et régulier. Cette séquence se trouvera être à la fin (désolé du spoil !) un code à 8 chiffres (avec 8 chiffres différents de 1 à 8) qui permet à Thomas et ses amis de sortir du Labyrinthe. Dans ce problème, nous allons retrouver ce code et voir, qu’il n’est pas, comme il pourrait sembler l’être, totalement hasardeux.

1) a) Supposons que l’on cherche un code à 8 chiffres qui utilisent une fois et une seule fois tous les chiffres de 1 à 8. Combien de combinaisons sont possibles ? 

b) Si Thomas et ses amis avaient testé toutes ces combinaisons en prenant 30 secondes par combinaison, combien de temps cela aurait-il nécessité ? Donner le résultat en heures puis en jours (Note à ceux qui ont vu le film : il est probable que dans le contexte du film, ils seraient déjà tous tués par les Griffeurs…).

2) Dans cette question on s’intéresse uniquement à la séquence des chiffres qui se répète, sans savoir par quel chiffre le code va commencer. Par exemple 12345678, 23456781 ou 34567812, qui sont des codes différents, se basent sur la même séquence car quand ils se répètent de nombreuses fois, on ne voit pas la différence (on obtient dans les trois cas une suite infinie du type 123456781234567812345678…. etc..)

Observation 1 : On observe que la séquence cherchée (donnant ensuite le code final) est telle que quand on a un chiffre inférieur ou égal à 4, immédiatement un chiffre supérieur à 4 suit, et inversement.

Observation 2 : On observe également que quand on a un chiffre inférieur à 4, qui désigne une section quelconque A du Labyrinthe, le chiffre qui suit est forcément celui désignant la section qui est diamétralement opposée à la section A dans le disque formé par le Labyrinthe que l’on peut voir en Annexe 1.

a) Connaissant ces deux observations, écrire toutes les séquences possibles de chiffres commençant par un 1.

b) Parmi les séquences possibles, on se concentre alors sur celles qui commencent par 1 – 5 – 2 – 6. Tracer sur le schéma du Labyrinthe la ligne brisée reliant, dans l’ordre ci-dessus, ces 4 chiffres. Effectuer l’image de cette ligne brisée par la rotation qui a pour centre le centre du labyrinthe, d’angle 90° (dans le sens horaire ou anti-horaire, cela n’a pas d’importance), puis décrire la ligne obtenue.

c) Parmi les deux manières de tracer cette nouvelle ligne brisée sans lever le crayon, quelle est la seule suite de chiffres qui serait compatible avec les observations 1 et 2 pour faire immédiatement suite à 1 – 5 – 2 – 6?

3) En combinant successivement la suite de quatre chiffres 1 – 5 – 2 – 6 et celle trouvée à la question 2c), on obtient alors la séquence permettant alors de retrouver le code. En utilisant alors l’image du film ci-dessous, qui donne le premier chiffre du code, retrouver le code exact utilisé par les amis de Thomas pour sortir du Labyrinthe dans l’histoire.

Annexe 1 – Carte du Labyrinthe

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