Problème 042 – Le succès exponentiel de « A nos souvenirs »

Niveau : Terminale
Chapitres : Fonction Exponentielle, Logarithme népérien
Inédit, publié le 24/08/2019

Durant l’été 2018, la France a découvert « A nos souvenirs », tube phénoménal d’un groupe de 3 musiciens venus de Corrèze : Trois Cafés Gourmands. Composé par l’un des membres du groupe, Sébastien Gourseyrol (un professeur de mathématiques !), et chanté avec Mylène Madrias et Jérémy Pauly, « A nos souvenirs », un véritable hymne à la Corrèze, est devenu en un été un air chantonné partout dans le pays grâce à des paroles qui touchent tous ceux qui ont la nostalgie de leur lieu d’enfance. Composé en 2012, et alors que le tube avait été publié sur Youtube dès le mois de Juillet 2017, il n’a véritablement décollé qu’un an plus tard, quand le groupe a signé un label pour bénéficier d’une diffusion nationale. En octobre 2018, alors que le succès de la chanson devenait éclatant, le coéditeur du groupe Francis Puydebois déclarait : « C’est inexplicable et exponentiel ! ». Le but de ce problème est justement d’étudier le caractère « exponentiel » de ce succès.

On regarde l’évolution du nombre de vues de la vidéo Youtube d’ « A nos souvenirs » (visible sur le lien : https://www.youtube.com/watch?v=voQhp1K2TSk). On la représente dans un repère en plaçant en abscisse le temps t, où l’origine est le mois de lancement de la vidéo (Juillet 2017) et l’unité de temps est le mois, et en ordonnée le nombre de vues (en millions). Quelques points de cette évolution (retrouvés grâce à des articles de presse) ont été placés sur le graphique de la Figure 1 ci-dessous :

Figure 1

1) a) En reliant les points représentés par une courbe continue, jusqu’à quel mois M peut-on estimer que cette évolution est effectivement exponentielle ? Quelle est l’allure de la courbe par la suite ?

b) Au moment où il la prononce, la déclaration de Francis Puydebois semble-t-elle erronée ?

2) On étudie d’abord la partie de la courbe qui a une allure exponentielle, jusqu’au mois M. En appliquant une méthode qui s’appelle une régression exponentielle, on est en mesure d’établir l’équation d’une courbe exponentielle qui passe, en moyenne, au plus près des points. Cette courbe dite de « tendance » a pour équation :

f(t) = 0,0581e^0,3927t

2) a) Le tableau en Annexe 1 donne le nombre de vues (en millions) ainsi que les valeurs de la courbe de tendance pour les mêmes abscisses que les points représentés sur la Figure 1. Commenter les écarts d’ordonnée entre la courbe de tendance et la réalité, d’abord pour les points d’abscisse inférieure ou égale à M, et ceux qui ont une abscisse supérieure à M.

b) Selon ce tableau, si l’allure avait continué à être exponentielle, durant quel mois le nombre de vues aurait-il dépassé 200 millions de vues ?

c) En résolvant une équation, retrouver le résultat de la question b).

3) On estime dans cette question que l’évolution à partir du mois M est plus linéaire qu’exponentielle. On peut donc représenter la suite de l’évolution du nombre de vues à partir du point M par une droite (d).

a) En considérant que la droite (d) passe par le point d’abscisse M et celui d’abscisse 25, tels que représentés sur le graphique de la Figure 1, établir l’équation de la droite (d).

b) Si cette évolution se poursuit linéairement au même rythme, quel est le mois où le nombre de vues dépassera 200 millions ?

c) Conclure en comparant les résultats des questions 2c) et 3b).

Annexe 1