Problème 040 – Les impressions d’Instagram

Niveau : Terminale
Chapitres : Suites
Inédit, publié le 21/08/2019

Réseau social fondé sur le partage de vidéos et de photos, Instagram est l’une des applications pour smartphone les plus populaires au monde. En juin 2018, elle revendiquait plus d’un milliard d’utilisateurs. Elle fait donc aujourd’hui partie des applications classiques les plus connues, au même titre que Facebook, Twitter ou Snapchat.

Dans ce problème, on va s’intéresser aux « impressions ». Dans Instagram, quand un utilisateur ouvre un compte, il peut suivre les statistiques de ce compte pour savoir si ses publications sont beaucoup regardées. Les impressions correspondent au nombre de fois où les publications sont vues. 

Delphine, élève de Terminale, est une passionnée de photographie. Elle décide d’ouvrir un compte Instagram, et d’y publier, à intervalles réguliers, ses photos, notamment pour les partager pour tous ses proches. Au jour J=0, elle publie sa première photo et reçoit 80 impressions. Tous les jours qui suivent, elle s’aperçoit que le nombre d’impressions chute quotidiennement de 10%, mais que quand elle publie une photo, tous les 5 jours, son compte reçoit 80 impressions de plus dans la journée. A ce rythme, Delphine souhaite savoir combien elle aura d’impressions quand elle aura publié de très nombreuses photos.

On pose (u_n) la suite qui donne, en arrondissant à l’entier près, le nombre d’impressions reçues chaque jour par le compte de Delphine. L’arrondi à l’entier près de u_n est donc égal au nombre d’impressions reçues le jour n, avec u₀= 80. 

1) a) Calculer u₁, u₂, u₃, et u₄ (arrondir au centième près)

b) Justifier que u₅= 0,9⁵x u₀ + 80.

2) On pose (v_n) la suite qui donne le nombre d’impressions reçues par le compte de Delphine tous les 5 jours. On a ainsi v₀= u₀, puis v_n= u_5n  (NB : en langage mathématique, on dit que (v_n) est une sous-suite ou une suite extraite de (u_n)). 

a) Justifier que v_n+1= 0,9⁵x v_n+ 80.

b) On pose r = 80 / (1 – 0,9⁵) . Démontrer par récurrence que (v_n) est une suite croissante majorée par r.

c) En déduire que (v_n) est une suite convergente.

3) On pose w_n= v_n– r.

a) Etablir que (w_n) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme w₀ et la raison q.

b) En déduire l’expression de v_n en fonction de n.

c) Calculer la limite de la suite (v_n).

d) Delphine estime que la limite trouvée à la suite (v_n) correspond à la question qu’elle se posait. Toutefois, la suite (u_n) converge-t-elle ? Justifier votre réponse.