Niveau : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Suites numériques
Inédit, publié le 25/05/2023
Depuis 2020, d’abord au Japon puis dans le monde entier, Hatsune Miku, la plus connue des Vocaloids– ces chanteurs ou chanteuses totalement virtuel.les -, s’est déployée sur les consoles et téléphones portables à travers le jeu « Project Sekai Colorful Stage ! ». Le principe de ce jeu, seul ou en multijoueur, est essentiellement de faire des « Live » avec des personnages de votre groupe. Dans ces « Live », il faut tapoter au bon moment, en rythme sur les chansons disponibles, sur des notes qui tombent en bas de l’écran. En cas de succès, le jeu libère des options supplémentaires, mais améliore aussi l’expérience du joueur qu’on évalue à travers le « Player Rank ».
Le « Player Rank » est un système de niveaux allant du 1er jusqu’au 500ème niveau. Pour passer d’un niveau à un autre, un joueur gagne des points d’expérience accumulés sur les « Live ». Pour modéliser ce système de points, on va appeler (un), pour n entier supérieur ou égal à 1, la suite qui au nème niveau associe le nombre de points d’expérience nécessaires pour passer au (n+1)ème niveau. Par exemple, au 1er niveau, il faut 10 points pour passer au 2ème niveau, donc u1 = 10. On observe également dans le jeu que u2 = 8 010 et u3 = 8 500.
1) A partir du niveau 4 et jusqu’au niveau 12 inclus, on observe que le nombre de points pour passer au niveau suivant augmente de 500 points par rapport à ce qui est nécessaire au niveau précédent ; à partir du niveau 13 et jusqu’au niveau 15 inclus, l’écart passe à 1000 points entre chaque niveau.
a) Calculer u4, u13 puis u15.
b) Montrer que le nombre de points nécessaires pour passer du 4ème niveau au 16ème niveau est égal à 144 000 points.
2) Pour 16 ≤ n ≤ 99, on a un = un-1 + 480.
a) Exprimer, pour 16 ≤ n ≤ 99, un en fonction de u15 et n.
b) En déduire u99.
c) Calculer le nombre de points nécessaires pour passer du 16ème au 100ème niveau, puis en déduire le nombre de points à cumuler depuis le début du jeu pour atteindre ce 100ème niveau.
3) a) A partir de quel niveau le nombre de points nécessaires pour passer au niveau suivant dépasse-t-il 25 000 ?
b) Au passage de quel niveau vers quel niveau le nombre de points d’expérience cumulés depuis le 1er niveau dépasse-t-il 2 millions ?
4) Pour n ≥ 100, un continue à croître, mais de manière irrégulière pour atteindre u400 = 586 295 et rester égal jusqu’à u499.
a) Déterminer l’arrondi, à l’unité près, de la raison d’une suite arithmétique (vn) telle que v0 = u0 et v499 = u499.
b) Exprimer ce que signifierait cette raison dans le cadre du problème.
MathsAMoi.com 