Niveau : Troisième
Chapitres : Trigonométrie, Volumes
Inédit, publié le 15/04/2023
Note : dans la version en ligne, les angles sont écrits en gras italique.
Depuis son introduction sur le parc Disneyland en France en 1995, l’attraction « Space Mountain », rebaptisée en 2017 « Star Wars Hyperspace Mountain », a toujours été une des attractions majeures du parc. Cette montagne russe dans un décor sombre, bien qu’elle ait évolué au cours des décennies, a toujours conservé sa fameuse catapulte, qui est décorée avec un canon de type Columbiad inspiré des romans de Jules Verne, et qui propulse les visiteurs très rapidement au début de l’attraction. Cette catapulte et ce canon sont les objets de ce problème.
Le schéma représentant la catapulte sont visibles en Annexe. Le chariot catapulté commence d’un point S, situé 4,5 mètres en-dessous du niveau du sol. Il est projeté avec une énorme accélération le long d’une pente qui fait un angle de 32° avec l’horizontale, en passant successivement par le point M situé au niveau du sol, les points J et V qui représentent l’entrée et la sortie du canon Columbiad, et enfin le sommet T situé à 26 mètres au-dessus du niveau du sol. On appelle N et H les points à la verticale du point T, respectivement au niveau du sol et au niveau du point S. On a donc : NMT = HST = 32°.
Dans tout le problème, on arrondira tous les résultats au dixième près. Toutes les longueurs seront exprimées en mètres.
1) Calculer la longueur totale ST du trajet du chariot le long de la catapulte.
2) Calculer la longueur TM et en déduire la distance SM entre le début de la projection et le moment où le chariot passe au niveau du sol.
3) Colin, qui visite le parc avec ses parents, et qui a les pieds au point C à mi-chemin entre les points M et N (en rouge sur le schéma de l’Annexe), est impressionné par la propulsion initiale. Il a le regard rivé vers les chariots qui se succèdent au point d’arrivée T.
Calculer l’angle NCT avec lequel Colin regarde l’arrivée des chariots au sommet(*).
4) La longueur JV du canon est de 22 mètres.
De quelle hauteur, par rapport au niveau du sol, le chariot s’élève-il entre l’entrée et la sortie du canon ?
5) Le canon est assimilable à un cylindre de diamètre 5 m. Calculer une estimation de son volume en m3 (on pourra prendre π ≈ 3,14).
Annexe
(*) On devrait normalement regarder l’angle à partir des yeux de Colin, mais on ignorera cette précision ici. On admettra également qu’aucun toit n’obstrue la vue de Colin…
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