Gastronomie/Alimentation

Problème 356 – Le panier Nutri-score de Quentin

Niveau : Première (Spécialité Maths) 
Chapitres : Probabilités
Inédit, publié le 08/01/2023 

Quand il fait ses courses au supermarché, Quentin achète un certain nombre de produits porteurs de l’échelle Nutri-score, qui classifient les produits de A à E selon leur qualité nutritionnelle (A pour le meilleur, E pour le moins bon). Dans l’esprit de Quentin, les produits classés A ou B sont plutôt bons et inversement pour les autres classés en C, D ou E(1). Examinons alors ce que peut contenir son panier…

On admet que les produits du panier de Quentin porteurs de l’échelle(2) vont se diviser uniquement en deux catégories :

  • Les produits des marques nationales, plus chers, qui selon l’OQALI (Observatoire de l’Alimentation), sont généralement à 65% à porter des produits classés A ou B(3).
  • Les produits des marques de distributeurs, souvent plus économiques, qui sont à 42% à porter des produits classés A ou B.

La proportion de chacune des catégories dans le panier de Quentin va varier en fonction de ses passages au supermarché. On appelle ainsi x la proportion, dans le panier, des produits de marques nationales parmi les produits porteurs de l’échelle.

On admet que dans chaque catégorie, la proportion des produits classés A ou B dans le panier de Quentin suit la proportion observée plus généralement par l’OQALI.

Chaque fois qu’il rentre chez lui, Quentin choisit au hasard dans son panier un produit porteur de l’échelle. On nomme alors les évènements:
N : « le produit choisi est d’une marque nationale ».
S : « le produit choisi est classifié A ou B dans le Nutri-Score ».

Dans ce problème, on arrondira tous les résultats au millième près.

1) Établir un arbre de probabilités de cette situation.

2) Dans cette question uniquement, on suppose que x = 0,70.
a) Calculer la probabilité que Quentin choisisse un produit d’une marque nationale et classifié C, D ou E dans le Nutri-Score.
b) Établir que la probabilité qu’il choisisse un produit classifié A ou B est égale à 0,581.
c) Les évènements N et B sont-ils indépendants ?
d) Supposons que Quentin choisisse un produit classifié A ou B. Quelle est la probabilité que ce produit soit de marque nationale ?

3) Calculer la proportion x minimale pour que la probabilité que Quentin choisisse un produit classifié A ou B soit au moins égale à 0,50.

4) Supposons que Quentin choisisse un produit classifié A ou B. 
Quelle devrait être la proportion x pour que Quentin choisisse un produit d’une marque de distributeur avec une probabilité égale à x?

(1) En réalité c’est plus compliqué car cela dépend de la nature des produits, mais on ignorera ce point ici.
(2) Tous les produits ne portent pas l’échelle Nutri-score : par exemple, on n’en trouve quasiment pas sur les produits frais.
(3) Source : https://www.oqali.fr/media/2022/01/OQALI-2021_Suivi-du-Nutri-Score-1.pdf

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