Problème 354 – Presque comme 2023

Niveau : Quatrième
Chapitres : Arithmétique
Inédit, publié le 04/01/2023

Chaque année, lorsque le Nouvel An arrive, les amateurs de curiosités mathématiques ne peuvent s’empêcher de regarder les propriétés cachées derrière le numéro de l’année. 2023 n’y fait pas exception, puisqu’on peut y trouver, entre autres curiosités, que 2023 a une décomposition en facteurs premiers égale à 7 x 17 x 17 (qui, au passage, se décompose très joliment en (2 + 0 + 2 + 3) x (2² + 0² + 2² + 3²)² ). Oui, mais en quoi est-ce que cela est-il si particulier?

1) L’écriture 7 x 17 x 17 est un produit de trois facteurs de la forme « a » x « ba » x « ba », où a et b représentent chacun un chiffre et l’écriture « ba » désigne un nombre à deux chiffres avec a = 7 et b = 1 (et non pas b fois a).

Quelle est la prochaine année M qui pourra se décomposer exactement sous une forme similaire (remarque : les facteurs ne sont pas forcément des nombres premiers) ?

Expliquer la démarche de recherche qui vous permet d’aboutir au résultat et justifier qu’il n’est pas nécessaire de tester tous les produits possibles.

2) Décomposer M en produit de facteurs premiers : que remarque-t-on ?

3) On pourrait considérer que la décomposition de 2023 en facteurs de trois nombres est plus « noble » que celle de M, car les trois facteurs sont premiers.
Montrer qu’il n’existe, à part 2023, aucune autre année du millénaire actuel avec une décomposition du type « a » x « ba » x « ba », les trois facteurs étant premiers.  

4) On s’intéresse maintenant aux années dont la décomposition pourrait être de la forme « a » x « ab » x « ab ».

a) Justifier que si on considère un nombre N de la forme « ab » et un nombre N’ de la forme « a’b’ » tels que N < N’ (ou a, b, a’, b’ sont des chiffres qui forment les nombres N et N’ à deux chiffres), alors : 

« a » x « ab » x « ab » < « a’ » x « a’b’ » x « a’b’ » 

b) En déduire les seules années du millénaire actuel qui pourront se décomposer sous cette forme. Quelles sont les décompositions qui n’ont que des facteurs premiers ?