Problème 345 – Le futur prix d’un Banksy détruit

Niveau : Terminale (Spécialité Maths)
Chapitres : Suites numériques, Fonction exponentielle, Fonction logarithme népérien
Inédit, publié le 18/11/2022

Légendaire par son anonymat, Banksy est certainement aujourd’hui l’artiste d’art urbain le plus connu de la planète. Ses œuvres engagées se retrouvent sur des murs dans le monde entier, et leur message souvent politique nous laisse rarement indifférents.

Une œuvre de Banksy peut valoir très cher. En 2018, Banksy faisait sensation en détruisant volontairement, à distance, une reproduction d’une de ses œuvres la plus connue, « La Fille au Ballon », alors qu’elle était en train d’être vendue aux enchères. Loin de perdre de la valeur, la reproduction devenue mythique et même rebaptisée « Love is in the Bin », achetée ce jour-là 1,04 millions de livres sterling (£), était revendue pas moins de £18,5 millions 3 ans plus tard. Croissance de prix… exponentielle ?

L’objet de ce problème est d’estimer ce que pourrait être le prix de l’œuvre lors de l’année 2100^(*). Tout va dépendre du modèle que l’on choisit. On appelle (u_n) et (v_n) deux suites estimant à l’année 2018 + n, dans deux approches différentes, le prix de l’œuvre « Love is in the Bin » en millions de livres sterling. On a ainsi : u₀ = v₀ = 1,04 et u₃ = v₃ = 18,5.

1) On suppose que (u_n) est une suite arithmétique. Déterminer sa raison.

2) On suppose que (v_n) est une suite géométrique. Déterminer sa raison (arrondir au centième près).

3) Montrer que (v_n) est une suite qui peut s’écrire explicitement sous la forme v_n = ae^bn, en déterminant les valeurs de a et de b (arrondir les valeurs au centième près).

4) a) Calculer les valeurs de u₈₂ et v₈₂ .
b) Quel modèle pourrait être le plus crédible ? Justifier la réponse.

5) On suppose qu’à partir de l’année 2021, on applique au prix de l’œuvre de Banksy le pourcentage d’augmentation annuel minimal, arrondi au dixième de % près, qui permettrait d’obtenir, en 2100, un prix au moins égal à u₈₂.

a) Remplir le programme Python ci-dessous afin qu’il puisse donner une valeur de ce pourcentage minimal.