Culture/Société

Problème 321 – Courbes estivales

Niveaux : 2 versions : Seconde et Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Variations et extremums, Fonctions affines (Seconde), 
Dérivation, Produit scalaire (Première)
Inédit, publié le 09/08/2022

L’été est sans aucun doute la saison la plus propice pour aller chercher une chaise longue et se prélasser. Quoi de plus agréable, en effet, que de bronzer sous le soleil (s’il ne brûle pas trop…) un petit verre à la main et bien installé ? (nb : justement, vous êtes justement invité à résoudre ce problème ainsi…). La chaise longue peut paraître bien banale, mais elle est en réalité un objet qui est une source d’inspiration pour de très nombreux créateurs du monde entier qui cherchent à trouver la forme la plus parfaite… ou peut-être celle qui se vendra la mieux. 

On étudie justement dans ce problème le profil de deux de ces chaises. La première d’entre elle, courbée, est représentée schématiquement sur le repère en Annexe 1. Le profil de la chaise est celui d’une courbe (C), représentative d’une fonction f.  On a placé sur (C) les points extremums : le point D, le plus en arrière en haut de la chaise, est placé sur l’axe des ordonnées. En Annexe 2, on a représenté sur un autre repère une autre chaise longue, un transat, formé de deux parties rectilignes [TR] et [RS] qui permettent notamment au dos de rester droit. Sur les deux repères, l’unité des axes est en centimètres, l’axe des abscisses représentant le sol.

Les deux problèmes proposés sont totalement indépendants.

Problème Niveau 2nde

1) a) Donner le domaine de définition de f, puis en décrire les variations.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction f.

2) Résoudre graphiquement les questions suivantes (arrondir les valeurs trouvées au centimètre près):
a) A quelle hauteur se situe un point de (C) situé pile au milieu de la chaise (en distance horizontale) ?
b) A quelle(s) distance(s) horizontale(s) de l’arrière de la chaise se situe un point de (C) situé à 15 cm du sol ?
c) Déterminer une hauteur pour laquelle il existe exactement 2 points de (C) situés à cette hauteur.

3) Ré-exprimer les 3 questions de la question 2) à l’aide de la fonction f et du vocabulaire usuel des fonctions (utiliser notamment les termes image et antécédent).

Les réponses aux questions 4) et 5) suivantes nécessitent une résolution algébrique (et non graphique). Arrondir les coefficients trouvés au centième près.

4) A partir de la figure en Annexe 2, donner les expressions des fonctions g et h dont les courbes représentatives sont respectivement les droites (TR) et (RS).

5) Supposons que l’on abaisse le transat pour que la partie arrière, représentée par la droite passant par R en pointillés, forme un angle de 25° avec l’horizontale (voir figure en Annexe 2). 

Donner alors l’expression de la fonction k associée à la droite en pointillés.

Problème Niveau 1ère
Note: sur la version en ligne du problème, les vecteurs et les angles sont écrits en italique.

1) Dresser le tableau de variations de la fonction f, puis en déduire le tableau de signes de la dérivée de f.

2) Donner les équations des tangentes à (C) respectivement en E et F.

3) a) Déterminer graphiquement une équation (sous la forme y= mx + p) de la droite tangente à (C) en G (utiliser des valeurs approchées).

b) En déduire la valeur de f’(180).

4) Sur la figure en Annexe 2, on appelle g et h les fonctions dont les courbes représentatives sont respectivement les droites (TR) et (RS).

Montrer que g’ et h’ sont des fonctions constantes, dont on déterminera la valeur image pour tout x.

5) A l’aide du produit scalaire RT.RS, déterminer au degré près l’angle TRS.

6) Supposons que l’on abaisse le transat pour que la partie arrière, représentée par la droite passant par R en pointillés, forme un angle de 25° avec l’horizontale (voir figure en Annexe 2). 

Déterminer sans calcul mais en justifiant, si, en effectuant cette manœuvre, le produit scalaire RT.RS augmente ou diminue par rapport à la situation précédente.

Annexe 1

Annexe 2

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