Problème 319 – Une boîte de Tic Tac bien remplie

Niveau : Troisième
Chapitres : Volumes
Inédit, publié le 31/07/2022

Au même titre que les Mentos, les Tic Tac sont indéboulonnables de ces présentoirs que l’on trouve à côté des caisses des supermarchés. Ils sont tout petits, pèsent à peine 0,5 grammes par unité : oui, mais on en mange vite beaucoup ! Et tout comme les tubes de Mentos, les boîtes de Tic Tac sont immédiatement reconnaissables par leurs dimensions typiques. Sont-elles bien remplies par les bonbons ? C’est ce que nous allons essayer de voir ici.

1) On peut estimer qu’une boîte de Tic Tac standard, mise debout, est assimilable à un pavé de longueur 46 mm, de largeur 19 mm et de hauteur 82 mm.

Calculer, en mm³, le volume d’une boîte de Tic Tac standard.

2) La boîte de Tic Tac est remplie avec 100 petites pastilles de longueur 1 cm qu’on va assimiler, dans ce problème, à un cylindre de hauteur 4 mm et de rayon 3 mm, complété des deux côtés par deux demi-sphères identiques de rayon 3 mm (voir schéma en Annexe 1).

a) Montrer que, dans ce modèle du Tic Tac, le volume de la partie cylindrique est exactement égal au volume cumulé des deux demi-sphères.

b) En déduire le volume, en mm³ arrondi à l’unité, d’un bonbon Tic Tac dans ce modèle.

3) On définit le taux de remplissage de la boîte comme étant le rapport entre le volume occupé par tous les bonbons contenus dans la boîte sur le volume de la boîte elle-même.

Donner, en pourcentage arrondi à l’unité, le taux de remplissage de la boîte standard de Tic Tac.

4) On imagine que les Tic Tac sont complétés en pavés droits en remplissant l’espace du pavé qui contient exactement la pastille. Le « Tic Tac pavé » est alors de dimensions 10 mm x 6 mm x 6 mm. On imagine alors qu’on range ces « Tic Tac pavés » dans la boîte de manière totalement compacte pour faire des lignes et des couches identiques, en partant d’un coin tout au fond de la boîte (voir schéma en Annexe 2).

a) Combien de pastilles de ce type peut-on alors mettre dans la boite au maximum, soit en couchant la pastille, soit en la mettant debout ?

b) Dans le cas qui permet de mettre le plus de pastilles, calculer le taux de remplissage de la boîte par ces petits pavés. Le comparer à la valeur trouvée en 3).

5) L’astronome et mathématicien allemand Johannes Kepler avait conjecturé en 1611 que l’empilement de billes identiques pouvait au maximum remplir un espace avec un taux de remplissage environ égal à 74%. Cette conjecture n’a pu être démontrée que quatre siècles plus tard par Thomas Hales !

Supposons que les Tic Tac aient été des billes de 1 mm de diamètre.

Calculer un ordre de grandeur du nombre de billes, en théorie, qu’on aurait pu mettre au maximum dans la boîte de Tic Tac.

Remarque de l’auteur : en composant ce problème, je me suis alors rendu compte qu’un problème ouvert (et peut-être aussi difficile que la conjecture de Kepler ?) pouvait certainement alors s’ouvrir : dans ce modèle du Tic Tac, combien de pastilles (sans les couper) au maximum peut-on théoriquement mettre dans une boîte – ou autrement dit, quelle est le taux de remplissage maximal d’une boîte de Tic Tac ? Je serai heureux de recevoir (et éventuellement de publier) vos contributions diverses…

Annexe 1 – Modèle d’un Tic Tac