Problème 309 – Les goûts des Mentos

Niveau : Sixième/Cycle 3
Chapitres : Fractions
Première distribution (en Devoir Maison) le 16/06/2022

En 2022, cela fait maintenant 90 ans que les Mentos se sont introduits dans les rayons de bonbons, et même plus souvent sur les étalages à côté des caisses. Ces bonbons mous sous forme de dragées, vendus quasiment depuis toujours sous la forme d’un tube, avaient initialement un goût menthol avant d’être déclinés dans un nombre incalculable de versions, qui diffèrent souvent selon les pays. Même si des longueurs et des tailles différentes existent, le tube standard de Mentos contient généralement 14 bonbons. En France, les tubes avec la version « Menthol » et la version « Fruit » sont restés les grands classiques, même si l’on peut trouver aujourd’hui quelques autres déclinaisons (« Rainbow », « Fresh Cola » etc…).

On s’intéresse pour ce problème à deux versions :

* La version « Fruit » qui contient trois goûts : fraise, orange, citron. Avec 14 bonbons, on ne peut évidemment pas avoir un nombre égal de dragées de chacun des trois goûts dans un tube : on supposera pour tout le problème que cette version contient 5 dragées au goût fraise, 5 au goût citron et 4 au goût orange. 

* La version « Rainbow » qui contient 7 goûts (fraise, orange, pastèque, pamplemousse, pomme, framboise, myrtille), répartis équitablement entre les 14 dragées.

1) Suivons Angelina qui est une grande fan de ces bonbons. Elle achète dans un premier temps un paquet de la version « Fruit » et un de la version « Rainbow » et verse le contenu des deux tubes dans un pot. 

Déterminer le nombre total de dragées ainsi que le nombre de goûts différents dans le pot.

2) a) Écrire la fraction qui décrit la part des dragées au goût fraise parmi tous les dragées du pot.

b) Proposer une autre écriture de la fraction trouvée avec des entiers plus petits au numérateur et au dénominateur.

c) Répéter les questions a) et b) pour le goût orange, puis pastèque.

d) Si l’on écrivait les fractions associées à chacun des goûts existant dans le pot, par quels entiers consécutifs pourrait-on encadrer toutes les fractions ?

3) Angelina ajoute ensuite dans le pot un deuxième paquet de la version « Fruit » ainsi qu’un deuxième paquet de la version « Rainbow». Expliquer pourquoi on peut affirmer que les fractions trouvées à la question 2) n’ont pas changé. 

4) Angelina mange 1 dragée de chacun des goûts présents dans le pot.  Écrire la nouvelle fraction qui décrit la part des dragées au goût fraise parmi tous les dragées du pot.

5) Angelina mange une dragée au goût fraise et une dragée au goût pomme. Elle pense ceci : « Comme j’ai mangé une dragée au goût fraise et une qui n’est pas au goût fraise, la fraction décrivant la part des dragées au goût fraise dans le pot n’a pas changé ». 

L’affirmation d’Angelina est-elle correcte ? Justifier la réponse.