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Problème 306 – La malédiction de Vecna

Niveau : Troisième
Chapitres : Trigonométrie, Théorème de Thalès, Équations
Inédit, publié le 04/06/2022

Les fans de la série Stranger Things pourront aussi s’attaquer aux problèmes sur la taille du Flagelleur Mental (3ème) ou sur la maison des Byers (6ème/5ème).

Remarque: dans la version en ligne, les angles sont écrits en gras italique.

Dans la saison 4 de la série Stranger Things, les jeunes héros de la ville de Hawkins affrontent un ennemi redoutable nommé Vecna. Celui-ci, caché dans le « Monde à l’envers », arrive à pénétrer à distance dans l’esprit de certaines personnes, et les achève avec un rituel terrible : il les projette à plusieurs mètres du sol avant de briser leurs os. Malheureusement, dans un des épisodes (spoil?), cette malédiction touche une des héroïnes du groupe d’amis, Max.

Alors qu’elle se bat contre Vecna, elle finit par être elle-même projetée à plusieurs mètres du sol sous les yeux de Dustin, Steve et surtout de son ami Lucas (voir l’image de la scène en Annexe). L’objet de ce problème est de déterminer, à partir de quelques données, à quelle hauteur du sol Max est projetée.

Max, qui mesure 1,60 m, est en l’air et totalement à la verticale entre les points M et X. Lucas la regarde à partir du point L sous un angle MLX de 10°, sachant que (ML) fait un angle de 72° par rapport à l’horizontale. Lucas, qui mesure 1,72 m, est debout à la verticale, entre les points L et S, S étant au sol. On appelle respectivement H, N, Y les points d’intersection de (MX), (ML) et (XL) avec l’horizontale représentant le sol.

Les meilleurs élèves pourront, à partir de ce point, essayer de répondre à la question posée sans être guidés.

Résolution avec des questions guidées

Dans ce problème, toute mesure directe sur la figure ne sera pas autorisée pour répondre aux questions. On exprimera les longueurs en mètres, avec un arrondi au centième près.

1) a) Justifier que l’angle LNS est égal à 72°.
b) Calculer la longueur SN.

2) a) Déterminer la mesure de l’angle NLY, et en déduire la mesure de l’angle SLY.
b) Calculer la longueur SY.

3) a) On pose x = HS.
En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle NMH, donner une expression de MH en fonction de x.
Indication : on pourra utiliser le fait que HN = HS + SN, et remplacer SN par la valeur trouvée en 1.b). 

b) Par une approche similaire, donner une expression de XH en fonction de x.

4)  a) En remarquant que MH = XH + 1,6, déduire de la question 3) une équation avec pour inconnue x.

b) Résoudre l’équation pour montrer que HS ≈ 1,35 m (1,34 m si on n’a pas utilisé d’arrondis dans les questions précédentes).

5) En déduire la longueur XH, qui est la hauteur à laquelle se trouve Max. 

Annexe

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