Niveau : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Fonction exponentielle
Inédit, publié le 01/06/2022
Véritable sport très physique, devenu olympique en 2020, le surf attire des dizaines de millions de pratiquants dans le monde. Ceux qui se sont jetés à l’eau le savent : rien n’égale le feeling extraordinaire de glisser sur une vague. Chacune d’entre elle est différente, et donc chaque sensation de vitesse est différente. C’est donc un sport aux possibilités quasiment infinies que nous allons étudier ici…
Regardons pour cela le profil possible de vagues sur lesquelles glissent les surfeurs. En Annexe, dans un repère orthogonal (O, I, J), nous les avons modélisées, d’un seul côté, par différentes courbes associées à des fonctions f, g, h, k et l pour des abscisses positives. Ces fonctions sont données par les expressions suivantes :
f(x) = 2,5 e-6x
g(x) = 3,5 e-5x
h(x) = 2,5 e-2x
k(x) = 2 e-4x
l(x) = 3,5 e-3x
L’abscisse du repère représente la largeur de la vague, et l’ordonnée sa hauteur ; l’unité est en mètres.
1) Associer à chacune des courbes tracées C1, C2, C3, C4 et C5 sa fonction correspondante. Justifier la réponse.
2) Calculer la dérivée de la fonction associée à la courbe C1.
3) Dans cette question, on arrondira les valeurs obtenues au dixième près.
On imagine qu’Igor (d’Hossegor ?) descend la vague représentée par la courbe C1 en partant de son point le plus haut, sur l’axe des ordonnées. La position initiale d’Igor est représentée par un point A. On admet que le profil de la vague reste fixe pendant la glisse.
a) Calculer la hauteur, en mètres, où se situe Igor quand l’abscisse de sa position est égale à 0,2.
b) On admet que le surf d’Igor est, en tout point, toujours orienté selon la pente de la courbe de la vague, c’est à-dire le long de la tangente à la courbe. La valeur de cette pente est donc donnée par le coefficient directeur cette tangente.
Calculer la valeur de la pente indiquée par le surf d’Igor au point de départ, puis quand x = 1/2.
4) Bodhi, lui, part initialement d’une vague dont la hauteur atteint celles des vagues profilées par C1 et C2. Mais en glissant, Bodhi se retrouve instantanément au point B, au sommet d’une vague dont le profil est donné par la fonction m d’expression :
m(x) = 10√x e-3x
a) Étudier les variations de la fonction m sur [0 ; 2].
b) En déduire les coordonnées de la position de Bodhi quand il est au sommet B de cette vague (arrondir les valeurs au dixième près).
c) Tracer sur le graphique en Annexe le profil de la courbe associée à la fonction m.
Annexe
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