Problème 275 – Les sens de la date palindrome

Niveau : Quatrième
Chapitres : Arithmétique
Inédit, publié le 22/02/2022

Curiosité du calendrier, une date palindrome est une date qui peut se lire dans les deux sens. Ainsi, le jour de la publication de ce problème, le 22 février 2022 s’écrivait 22/02/2022. Si on associe un nombre à cette date, on obtient « 22022022 » qui est un nombre, en quelque sorte, « symétrique » (même si ce n’est pas géométriquement le cas). Et ce n’est pas un phénomène si fréquent, puisque la date palindrome qui suit n’est pas attendue avant 8 années ! Cela nous laisse donc bien du temps pour nous poser quelques questions sur cette date palindrome de l’année 2022. 

1) a) Justifier qu’il ne peut pas y avoir plus d’une date palindrome chaque année.

b) Justifier que durant ce siècle, toute date palindrome ne pourra se produire qu’en février.

c) Montrer que la date palindrome suivant celle de 2022 ne se produira pas avant 8 ans. En donner la date exacte. Remarque : on rappellera qu’une date telle que le 1^er janvier 2000 s’écrit 01/01/2000.

2) Justifier que dans la décomposition en produit de facteurs premiers de 22022022, les facteurs 2 et 3 n’apparaissent chacun qu’une seule fois.

3) Montrer qu’un nombre à 8 chiffres qui ne commence pas par un 0 et qui est associé à une date palindrome n’est pas divisible par 5. 

4) Un critère de divisibilité d’un nombre par 11 peut s’énoncer de la manière suivante :

« Un nombre est divisible par 11 si, et seulement si, la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de rang pair est divisible par 11 ».

Ainsi un nombre comme 35 805 est divisible par 11 car (3 + 8 + 5) – (5 + 0) = 11, qui est divisible par 11.

a) Montrer que 22022022 est divisible par 11.

b) Montrer que tout nombre associé à une date palindrome est divisible par 11.

5) En divisant 22022022 par 11, on obtient un nouveau nombre qui peut se lire dans les deux sens : 2002002. En divisant tous les nombres associés à une date palindrome par 11, obtient-on toujours un nombre « symétrique » ? Justifier la réponse.