Problème 228 – Les points du décathlon

Niveau : Terminale
Chapitres : Étude de fonctions, fonction exponentielle, fonction logarithme, convexité
Inédit, publié le 06/08/2021

*Kevin Mayer lors de Jeux Olympiques de Tokyo. Source : AFP*

Recordman du monde depuis 2018 et médaillé d’argent aux Jeux Olympiques de Rio et de Tokyo, Kevin Mayer fait briller la France dans l’épreuve du décathlon depuis quelques années : bravo à lui ! Il nous donne ainsi l’occasion de nous intéresser à cette épreuve qualifiée par beaucoup comme la plus difficile de l’athlétisme. Composé de 10 épreuves alternant des courses (100 m, 400m, 1500m, 110m haies), des sauts (en longueur, en hauteur, à la perche) et des lancers (poids, disque, javelot), le décathlon possède un système très précis qui permet de calculer le nombre de points obtenus à chaque épreuve – le but étant de cumuler le plus de points sur toutes les épreuves.

Pour ce problème, nous allons étudier la formule qui permet de calculer les points sur les épreuves de course en fonction du temps t réalisé (en secondes). Cette formule est donnée par la fonction f(t) suivante⁽¹⁾ :

f(t) = E[g(t)] avec g(t)=ae^cln(b-t)

E[ ] est la fonction « partie entière », qui arrondit un nombre à l’entier immédiatement inférieur (par exemple, E[2,99] = 2).

a, b et c sont des paramètres qui varient selon les épreuves.

Pour le 100 m, les paramètres sont les suivants : a = 25,4347 ; b = 18 et c = 1,81. Dans tout le problème qui suit, les fonctions f et g seront uniquement celles qui se réfèrent à l’épreuve du 100 m.

A – Étude de la fonction g(t), pour le 100 m

1) Déterminer un domaine de définition D de la fonction g approprié au décathlon.
Note : on rappelle qu’à ce jour, le record du monde du 100 m est de 9,58 s, détenu par le Jamaïcain Usain Bolt.

2) a) Étudier les variations de g sur D (on n’oubliera pas l’étude des limites aux bornes).
b) Justifier que g est une fonction convexe sur D.

3) Tracer la courbe représentative de g sur le graphique en Annexe 1.

B – Autour de f(t), pour le 100 m

4) Décrire, sans la tracer, à quoi va ressembler la courbe représentative de la fonction f par rapport à celle de g.

5) Lors de l’épreuve du 100 m du décathlon aux Jeux Olympiques de Tokyo, Kevin Mayer a couru en 10,68 s. Quel a été son nombre de points marqués dans cette épreuve ?

6) Quel est le temps minimum (arrondi au centième de seconde) au-delà duquel un athlète marquera 0 point sur l’épreuve du 100 m ?

Annexe 1