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Problème 201 – Le double Z de Zorro

Niveau : Cinquième
Chapitres : Angles
Inédit, publié le 19/04/2021

Note: sur la version en ligne de ce problème, tous les angles sont notés en italique.

Justicier masqué défenseur des pauvres, le personnage de Zorro, crée par le romancier Johnston McCulley, a inspiré depuis plus d’un siècle de très nombreuses adaptations au cinéma et à la télévision. Celle de Disney, où le personnage de Zorro est interprété par Guy Williams, a couvert de nombreuses générations, même les plus récentes. En évoquant cette version, on ne peut s’empêcher de penser à Zorro sans avoir en tête le « Z » que le héros fait « à la pointe de l’épée ». Nous allons justement ici parler de ce Z.

Zorro, pour réussir à toujours faire un magnifique Z sur le ventre du sergent Garcia, s’entraine de manière rigoureuse. On imagine ainsi que, quand le héros s’exerce, il essaye toujours d’en faire 2 à la suite, entrelacés comme on peut le voir sur la figure de l’Annexe 1. Sur cette figure, le premier Z est représenté par la ligne brisée ABCD et le second par la ligne brisée EFGH, les deux Z se coupant au point O : Zorro considère que ses Z sont « parfaits » uniquement si les droites (AB), (CD), (EF) et (GH) sont parallèles entre elles, et si les droites (BC) et (FG) sont parallèles. On donne : ABC = 27°.

1) Remplissez sans justifier chacune des phrases ci-dessous en choisissant parmi les 3 termes : alternes-internes, correspondants, opposés par le sommet (des termes peuvent apparaître plusieurs fois).
a) Les angles ABC et BCD sont ……………………………..
b) Les angles FOC et DOG sont ……………………………..
c) Les angles FOD et OGH sont ……………………………..
d) Les angles COG et FGH sont ……………………………..
e) Les angles FOD et BCD sont ……………………………..
f) Les angles EFO et FOD sont ……………………………..

2) Montrer que, quand Zorro réussit à faire des Z « parfaits », les angles ABC et FGH sont égaux. Justifier soigneusement votre réponse.
Indication : on décomposera le raisonnement en plusieurs étapes.

3) Un jour, Zorro décide de varier son entraînement en faisant tourner son second Z par rapport au premier. Il obtient ainsi la figure représentée en Annexe 2, où les deux lignes brisées ABCD et EFGH sont restées identiques en forme par rapport à la figure de l’Annexe 1, mais où la ligne EFGH a tourné, créant ainsi un second point d’intersection I entre les deux Z. Ce point I est tel que FIO = 20°. Calculer, sans mesurer sur la figure et en justifiant votre réponse, la mesure de l’angle IOF.

4) a) Justifier que les droites (EF) et (BC) ne sont pas parallèles.

b) A partir de la figure de l’Annexe 1, de combien de degrés Zorro aurait-il dû faire tourner le second Z pour que justement les droites (EF) et (BC) deviennent parallèles ? Montrer qu’il y a deux réponses possibles (voire plus…).

Annexe 1

Annexe 2

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