Niveau : Troisième
Chapitres : Arithmétique
Inédit, publié le 20/03/2021
Note préalable à ceux qui ne connaissent pas les Schtroumpfs : le mot « schtroumpfer » est susceptible d’avoir un nombre infini de significations. Il faut se servir du contexte pour deviner sa signification dans la phrase où il est utilisé.
Depuis leur création, le nombre de Schtroumpfs n’a cessé, à travers les albums et les films, de croître. La question du nombre de Schtroumpfs apparaît pour la première fois lors de l’histoire du « Centième Schtroumpf », dans lequel le Grand Schtroumpf essaye de schtroumpfer 99 Schtroumpfs (en ne s’incluant pas lui-même) pour la fête de la Lune Bleue. Grâce à ce « bon » nombre de Schtroumpfs, il arrive à schtroumpfer 11 lignes de 9 Schtroumpfs pour chanter, comme on peut le schtroumpfer sur l’image en Annexe 1 (on considère que la première ligne est formée des Schtroumpfs situés le plus proche du Grand Schtroumpf, et que toutes les autres lignes sont parallèles à la première ligne).
Quel que soit le nombre de Schtroumpfs capables de chanter et de danser, on considère que le Grand Schtroumpf, qui veut que tous les Schtroumpfs présents au village chantent en face de lui, n’a schtroumpfé que deux autres conditions pour que le chant se passe bien :
Condition 1 : Qu’il y ait au minimum 2 lignes de Schtroumpfs en face de lui.
Condition 2 : Que chaque ligne contienne le même nombre de Schtroumpfs, avec au minimum 5 Schtroumpfs sur une ligne.
1) Lors de la fête de la Lune Bleue, déterminer les deux seules manières que le Grand Schtroumpf aurait pu schtroumpfer pour aligner ses 99 Schtroumpfs avec moins de 10 lignes – tout en respectant les deux conditions.
2) On considère ensuite que la Schtroumpfette est devenue le 101ème Schtroumpf du village, ce qui faisait alors 100 chanteurs/danseurs potentiels. De combien de manières le Grand Schtroumpf aurait-il pu ranger ces 100 Schtroumpfs tout en respectant les deux conditions ?
3) a) Le Grand Schtroumpf, qui prévoyait la croissance du village et du nombre de ses Schtroumpfs, a regardé tous ces « mauvais » nombres de Schtroumpfs entre 100 et 200 (en ne comptant pas le Grand Schtroumpf) qui auraient pu rendre impossible le respect des deux conditions. Que peut-on dire de ces nombres ? Expliquer.
b) On schtroumpfe la méthode du crible d’Eratosthène(1) pour retrouver tous ces « mauvais » nombres entre 100 et 200 rapidement. Après avoir réexpliqué le principe de la méthode, justifier qu’à partir d’un certain nombre M, il n’est plus nécessaire de vérifier s’il existe des multiples pour les nombres situés au-dessus de M. Déterminer la valeur de M.
c) Schtroumpfer le crible sur l’Annexe 2 pour retrouver les « mauvais » nombres de Schtroumpfs.
4) Finalement, le village a vraiment grandi, puisqu’on compte à ce jour 210 Schtroumpfs en plus du Grand Schtroumpf, les dernières venues étant les 100 Schtroumpfs filles du film de 2017.
a) Schtroumpfer la décomposition en nombres premiers de 210.
b) Tout en respectant les deux conditions, Le Grand Schtroumpf veut schtroumpfer un nombre de lignes strictement supérieur à 7 : ce nombre de lignes peut-il être premier ? Schtroumpfer soigneusement la réponse.
Annexe 1(2)
Annexe 2
(1) Ceux qui ne se souviennent plus de la méthode pourront trouver des informations sur le lien suivant : http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/pratique/textes/crible_an.htm
(2) Extrait de l’album « L’œuf et les Schtroumpfs » avec l’histoire « Le centième schtroumpf »
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