Finance·Jeux/Loisirs

Problème 136 – « Keno gagnant à vie ! » et la valeur actuelle

Niveau : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Suites numériques, Algorithmique (Python)
Inédit, publié le 10/07/2020

Le jeu de la Française des Jeux, « Keno, gagnant à vie ! » est un jeu qui depuis 2013, propose pour son gros lot la formule suivante : 2 millions d’euros, ou 100 000 euros versés chaque année pendant toute une vie. Un calcul rapide devrait, intuitivement, nous amener à penser que ces 2 millions d’euros sont l’équivalent de versements pendant 20 ans. Or, nous allons voir dans ce problème, à travers le concept de valeur actuelle, que ce n’est pas totalement le cas.

En finance, la valeur actuelle est la valeur au présent d’une future somme d’argent compte tenu d’un taux, dit « de rendement », spécifié. Le principe repose sur le fait que plus de l’argent arrive tard, moins il a de la valeur au temps présent : en effet, tout argent possédé au présent devrait augmenter en valeur des années plus tard en étant simplement placé à la banque (ou sur d’autres types de placements) avec un taux d’intérêt annuel de t% : c’est le taux de rendement moyen espéré. Par exemple, 100 euros placés aujourd’hui à un taux de rendement de 2% – c’est à dire augmentant de 2% chaque année – vaudront dans 5 ans :  100 x (1+2%)5, soit environ 110,41 euros. Ainsi, à l’inverse, on considère que 100 euros reçus dans 5 ans ne valent en réalité aujourd’hui que : 100/(1+2%)5, soit environ 90,57 euros (c’est l’opération inverse).

Formellement, la valeur actuelle V d’une somme d’argent A reçue dans n années, en considérant un taux de rendement annuel de t% est donnée par la formule :

V = A / (1+t/100)n

Dans tout le problème, on arrondira les valeurs à l’euro près.

1) Question préliminaire
a) Calculer la valeur dans 4 ans de 100 000 euros placés aujourd’hui à un taux de rendement annuel de 3%.
b) Calculer la valeur actuelle de 200 000 euros à recevoir dans 2 ans, avec un taux de rendement de 1%.

2) On applique ce principe au « Keno, gagnant à vie ! ». On appelle (un) la suite qui à n associe la valeur actuelle, en euros, des 100 000 euros reçus lors de la n-ième année qui suit l’année du tirage gagnant, avec u0 = 100 000 (un premier versement est effectué l’année du tirage gagnant). On suppose que le taux de rendement à appliquer est de 2%.

a) Calculer u1, u2, u3.
b) Quelle est la nature de la suite (un) ? En donner sa raison.
c) Donner la formule de la somme des termes de la suite (un) jusqu’à l’année n suivant l’année du tirage gagnant (note : on ne cherchera pas à simplifier l’expression).
d) Calculer et comparer la valeur actuelle de la somme des 20 premiers versements par rapport à un gain immédiat de 2 millions d’euros. Qu’en déduisez-vous ?

3) Le père du lycéen Jérémy, Patrice, vient de gagner le gros lot au jeu « Keno, gagnant à vie ! ». Il doit prendre la décision entre recevoir immédiatement 2 millions d’euros ou des versements annuels de 100 000 euros. Le taux de rendement moyen qu’il applique pour lui-même est de 2%. Patrice a 55 ans, et sait que l’espérance de vie en France pour un homme est de 82 ans. Pour l’aider à répondre à son dilemme, nous allons utiliser un programme en langage Python.

a) Compléter ci-dessous le programme en langage Python de la fonction ValeurActuelle (A,i,t) qui donne la valeur actuelle d’un versement de A euros lors de la i-ìème année après l’année du tirage gagnant, en considérant un taux de rendement de t%.

1 def ValeurActuelle(A,i,t):
2       return ………

b) Compléter ci-dessous, en vous appuyant sur la fonction ValeurActuelle précédente, le programme d’une fonction SommeValeurActuelle (A,n,t) permettant, avec un montant A, un nombre d’années n, et un taux de rendement de t%, d’obtenir la valeur actuelle de la somme de tous les versements annuels d’un montant A (incluant un versement l’année du tirage gagnant) jusqu’à n années après l’année du tirage.

def SommeValeurActuelle (A,n,t):
2      a=0
3      for i in range (….):
4           …………………………….
5      return(…)

c) Proposer un programme qui, en s’appuyant sur la fonction SommeValeurActuelle, affiche dans combien d’années après le tirage initial, la somme des valeurs actuelles des versements sera au moins équivalente à 2 millions d’euros actuels (avec le taux de rendement de Patrice).
Indication : ce programme calcule, de manière incrémentale (à l’aide d’une boucle « while ») la somme des termes de la suite (un), et s’arrête quand un ≥ 2 000 000. Le programme affiche alors la valeur cherchée quand la boucle s’arrête.

d) Exécuter le programme pour en déduire une réponse au dilemme de Patrice.

4) Jérémy estime que le taux de rendement proposé par son père est trop pessimiste. Jérémy estime qu’il faudrait considérer à minima 30 versements de 100 000 euros pour que cela soit au moins équivalent à 2 millions d’euros actuels. 

a) En vous appuyant sur la question 3), proposer un programme qui permet d’afficher le taux de rendement minimum (arrondi au centième de %) que devrait appliquer Patrice pour être en accord avec ce que pense son fils.

b) Exécuter le programme pour déterminer ce taux de rendement minimum.

Votre commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l’aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Photo Google

Vous commentez à l’aide de votre compte Google. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l’aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l’aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s